Selvitetyt integroidut ominaisuudet, sovellukset, laskelmat (esimerkit)

Se Määrittelemätön integraali Se on johdannaisen käänteinen toiminta ja sen merkitseminen käytetään pitkänomaista S -symbolia: ∫. Matemaattisesti funktion f (x) määrittelemätön integraali on kirjoitettu:

∫f (x) dx = f (x) + c

Missä integroiva f (x) = f '(x) on muuttujan funktio x, joka puolestaan ​​on johdettu toisesta funktiosta F (x), jota kutsutaan integraaliksi tai antiderivisiksi.

Kuvio 1. Määrittelemätön integraali on yksi tehokkaimmista työkaluista matemaattiseen mallintamiseen. Lähde: Wikimedia Commons. Tausta.

C -puolestaan ​​on vakio, joka tunnetaan nimellä Integraatiovakio, jotka aina liittyy tulokseen määrittelemättömästä integroinnista. Näemme sen alkuperän heti esimerkin avulla.

Oletetaan, että he pyytävät meitä löytämään seuraavat määrittelemättömät integraalit I:

I = ∫x.Dx

Tunnistan heti f '(x) x: n kanssa. Se tarkoittaa, että meidän on annettava funktio F (x) siten, että sen johdannainen on X, mikä ei ole vaikeaa:

f (x) = ½ x²

Tiedämme, että kun johdetaan f (x), pääsemme f '(x), tarkistamme sen:

[½ x²] = 2. (½ x) = x

Nyt funktio: f (x) = ½ x² + 2 täyttää myös vaatimuksen, koska johdannainen on lineaarinen ja vakion johdannainen on 0. Muut toiminnot, jotka johdettuna johtavat f (x) = ovat: ovat:

½ x² -1, ½ x² + viisitoista; ½ x² - √2…

Ja yleensä kaikki lomakkeen toiminnot:

f (x) = ½ x² + C

Ne ovat oikeita vastauksia ongelmaan.

Mitä tahansa näistä toiminnoista kutsutaan antiiderivisiksi tai primitiivisiksi f '(x) = x: lle ja se on juuri se funktion kaikkien antidervanifienttien joukko, joka tunnetaan määrittelemättömänä integraalina.

Riittää tuntemaan yksi primitiivisistä, koska kuten nähtiin, ainoa ero niiden välillä on integraation vakio C.

Se voi palvella sinua: Poisson -jakelu: kaavat, yhtälöt, malli, ominaisuudet

Jos ongelma sisältää alkuolosuhteet, on mahdollista laskea C: n arvo sopeutua niihin (katso esimerkki myöhemmin).

[TOC]

Kuinka laskea määrittelemätön integraali

Edellisessä esimerkissä ∫x laskettiin.dx, koska funktio F (x): n tiedettiin, että kun se johdettiin, se johti integroitumiseen.

Siksi tunnetuimmista toiminnoista ja niiden johdannaisista perustiedot voidaan ratkaista.

Lisäksi on joitain tärkeitä ominaisuuksia, jotka laajentavat mahdollisuuksien valikoimaa ratkaistaessa olennaista. Olla k -k - Todellinen numero, on totta, että:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫Xⁿ Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫X ^-1 Dx = ln x +c

Integroinnista riippuen on useita algebrallisia menetelmiä ja numeerisia integraalien ratkaisemiseksi. Tässä mainitsemme:

-Muuttujan muutos

-Algebrallinen ja trigonometrinen substituutio.

-Integraatio osien mukaan

-Hajoaminen yksinkertaisissa fraktioissa rationaalisen tyypin integroimiseksi

-Taulukoiden käyttö

-Numeeriset menetelmät.

On integraaleja, jotka voidaan ratkaista useammalla kuin yhdellä menetelmällä. Valitettavasti ei ole ainutlaatuista kriteeriä, jotta voidaan määrittää etukäteen tehokkain menetelmä tietyn integroinnin ratkaisemiseksi.

Itse asiassa jotkut menetelmät mahdollistavat tiettyjen integraalien ratkaisun nopeammin kuin toiset. Mutta totuus on, että taitojen hankkiminen ratkaisemalla integraalit, jotka sinun on harjoitettava jokaisessa menetelmässä.

- Ratkaistu esimerkki

Ratkaista:

Ratkaisu

Tehdään yksinkertainen muuttujan muutos subradikaaliseen määrään:

U = x-3

Kanssa:

X = u+3

Molemmat osapuolet kummallakin lausekkeella saat:

Dx = du

Nyt korvaamme integraalissa, jota me merkitsemme kuten minä:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Voi palvella sinua: Ordinaalimuuttuja

Käytämme jakautuvaa ominaisuutta ja yhtä suuret pohjat, ja se saadaan:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Edellisen jakson omaisuudelle 3:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3U^1/2 du

Nyt omaisuutta 4 sovelletaan, joka tunnetaan nimellä Vallansääntö-

Ensimmäinen kiinteä

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + c₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Toinen kiinteä

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫U^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + c₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Sitten tulokset tulevat yhteen:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Kaksi vakiota voivat kokoontua yhteen ilman ongelmia. Lopuksi, emme saa unohtaa palauttaa muuttujan muutosta, joka tehtiin ennen ja ilmaista tulosta alkuperäisen muuttujan X suhteen:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Tulos on mahdollista ottaa huomioon:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Sovellukset

Määrittelemätön integraali koskee esimerkiksi lukuisia malleja luonnollisissa ja yhteiskuntatieteissä:

Liike

Liikemonongelmien ratkaisussa liikkuvan nopeuden laskemiseksi, sen kiihtyvyyden ja liikkuvan aseman laskemisessa, se on tunnettu nopeuden.

Talous

Kun lasketaan tuotantokustannukset ja mallinnet kysyntäfunktiota, esimerkiksi.

Sovellusharjoitus

Objektin vaadittava vähimmäisnopeus maanpäällisen gravitaation vetovoiman välttämiseksi annetaan:

Tässä ilmaisussa:

-v on sen esineen nopeus, joka haluaa paeta maasta

-Ja se on etäisyys planeetan keskustasta

-M on maan massa

-G on jatkuva gravitaatio

Voi palvella sinua: Normaali jakauma: kaava, ominaisuudet, esimerkki, liikunta

Sitä pyydetään löytämään suhde v ja ja, Määrittelemättömien integraalien ratkaiseminen, jos objektille annetaan alkuperäinen nopeus V_jompikumpi Ja maan säde tunnetaan ja sitä kutsutaan r.

Kuva 2.- Keinotekoinen satelliitti Soyuz. Jos tarjotaan liian paljon nopeutta, se poistuu maan vakavuudesta, tämän tapahtuvan vähimmäisnopeutta kutsutaan pakokaasun nopeudeksi. Lähde: Wikimedia Commons.

Ratkaisu

Meille esitetään kaksi määrittelemätöntä integraalia, jotka voidaan ratkaista integraatiosääntöjen kautta:

Yllyttää₁ = ∫v DV = V²/2 + C₁

Yllyttää₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ ja^-2 dy = -gm [ja^-2+1/(-2 + 1)] + c₂ = GM. ja^-1 + C₂

Me arvostamme i₁ ja minä₂-

v²/2 + C₁ = GM. ja^-1 + C₂

Kaksi vakiota voivat kokoontua yhteen:

Kun integraalit on ratkaistu, käytämme alkuolosuhteita, jotka ovat seuraavia: Kun esine on maan pinnalla, se on etäisyydellä r saman keskustasta. Lausunnossa he kertovat meille, että se on etäisyys maan keskustasta.

Ja pelkästään pinnalla on, että alkuperäinen nopeus on tarjolla planeetan painovoiman vetovoima. Siksi voimme todeta, että v (r) = v_jompikumpi. Tällöin mikään ei estä meitä korvaamasta tätä ehtoa juuri saamassamme tuloksessa:

Ja v_jompikumpi Se tunnetaan, samoin G, M ja R, voimme tyhjentää integraatiovakion arvon c:

Jonka voimme korvata integraalien tuloksessa:

Ja lopuksi puhdistamme v², factoring ja ryhmittely oikein:

Tämä on ilmaus, joka liittyy nopeuteen v satelliitista, joka on ampunut planeetan pinnalta (säde r) alkuperäisellä nopeudella voima, Kun se on etäisyydellä ja planeetan keskustasta.

Viitteet

1. Haeussler, E. 1992. Matematiikka hallinto- ja taloustieteelle. Iberoamerica -toimitusryhmä.
2. Hyperfysiikka. Pakonopeus. Toipunut: hthyperphysics.Phy-Astr.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Muuttujan laskenta. 9NA. Painos. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Laskenta analyyttisellä geometrialla. 9NA. Painos. Pearson -koulutus.
5. Wolfram Mathworld. Esimerkki integraaleista. Toipunut: MathWorld.Susi.com.