Ystäviä tai ystävällisiä esimerkkejä ja kuinka löytää heidät

Se Ystävät tai ystävälliset numerot On olemassa kaksi luonnollista numeroa A ja B, joiden yhden jakajien summa (lukuun ottamatta lukumäärää) on yhtä suuri kuin toinen luku, ja tämän toisen jakajien summa (lukuun ottamatta sitä) on yhtä suuri kuin ensimmäinen ongelma.

Monet pariskunnat, joilla on tämä utelias omaisuus, on löydetty. Ne eivät ole liian pieniä lukuja, alaikäiset ovat 220 ja 284, löydetty useita vuosisatoja sitten. Annetaan siis esimerkki siitä, mitä tämä erityinen ystävyys numeroiden välillä tarkoittaa.

Kuvio 1. Pari ystävää 220 ja 284 oli jo tunnettu vuosisatojen ajan. Lähde: Pixabay.

220: n jakautuneet jakajat, mukaan lukien 220, ovat: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ja 110. Toisaalta 284: n jakajat, mukaan lukien 284, ovat: 1, 2, 4, 71 ja 142.

Nyt lisäämme ensimmäisen numeron jakajat, joka on 220:

D -d₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Huomaamme, että käytännössä summa on 284, numeroystävä.

Sitten lisätään 284: n jakajat:

D -d₂ = 1+2+4+71+142 = 220

Ja parin ensimmäinen jäsen saadaan.

Pythagoran koulun muinaiskreikkalaiset matemaatikot, jotka Pythagoras perusti (569-475.C.), Saman nimen kuuluisan lauseen kirjoittaja, onnistui löytämään tämän omituisen suhteen näiden kahden numeron välillä, joihin monet mystiset ominaisuudet omistettu.

Keskiajan islamilaiset matemaatikot tunsivat heidät myös, jotka onnistuivat määrittämään yleisen kaavan löytääkseen ystäviä aikakautemme 850 -luvulta.

[TOC]

Kaava ystävien löytämiseksi

Islamilainen matemaatikko Thabit Ibn Qurra (826-901) löysi tavan luoda ystäviä numeroita. Sean p, Q - ja r - Kolme ensisijaista lukua, toisin sanoen lukumäärät, jotka myöntävät vain yhdelle ja itselleen jakautuneiksi.

Seuraavan toteuttamisen jälkeen:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Voi palvella sinua: seuraus (geometria)

R = 9.2^2N-1 - 1

Kanssa n lukumäärä suurempi kuin 1, sitten:

A = 2ⁿPQ ja B = 2ⁿr - 

Meikki pari ystävää. Aiomme kokeilla kaavaa n = 2: lle ja katsomme, mitkä pari ystävänumeroa luo:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Niin:

A = 2ⁿPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2ⁿR = 2². 71 = 284

Keskiaikaisen matemaattisen kaava.

Lause ei kuitenkaan toimi kaikille tähän mennessä löydettyille ystäville, vain n = 2, n = 4 ja n = 7.

Vuosisatoja myöhemmin sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler (1707-1783) päätti uuden säännön löytääkseen ystävällisiä numeroita, jotka perustuvat Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Kuten aina, numerot P, Q ja R ovat serkkuja, mutta nyt on olemassa kaksi kokonaista eksponenttia: M ja N, joista M: n on täytettävä seuraava ehto:

1 ≤ m ≤ n-1

Ystävien pari on muodostettu samalla tavalla:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr - 

Jos M = N-1 saadaan uudelleen Thabitin lause, mutta kuten islamilaisen matemaatikkojen lauseessa, kaikki ystävälliset numerot eivät täytä Euler-sääntöä. Siinä kuitenkin siihen asti tunnetun ystävällisten lukujen määrä kasvoi.

Tässä on ensimmäiset eksponenttiparit (M, N), joiden kanssa löytää ystävällisiä numeroita:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) ja (29,40)

Myöhemmin harjoitusosassa löydämme pari ystävällistä numeroa, jotka lomakkeet Euler -säännön eksponenttien (3,4) ansiosta.

Esimerkkejä ystävienumeroista

-220 ja 284

Voi palvella sinua: Satunnainen koe: Konsepti, näytetila, esimerkkejä

-1184 ja 1210

-2620 ja 2924

-5020 ja 5564

-6232 ja 6368

-10.744 ja 10.856

-12.285 ja 14.595

-17.296 ja 18.416

Tietokoneella voidaan tietysti luoda monia muita ystävällisten lukujen paria.

Kuinka hajottaa numero ja löytää jakajasi

Katsotaan nyt, kuinka löytää numeron jakajat, vahvistaa, jos he ovat ystäviä. Ystävällisten numeroiden määritelmän mukaan kaikki osallistujan jakajat tarvitaan niiden lisäämiseksi, paitsi itse numerot.

Nyt luonnolliset numerot voidaan jakaa kahteen ryhmään: alusluvut ja yhdistelmäluvut.

Primo -numerot myöntävät vain tarkan jakautuneena yhdelle ja itselleen. Ja heidän osansa muodostamat numerot voidaan aina ilmaista ensisijaisten lukumäärien tuloksi ja niillä on muita jakajia, lukuun ottamatta yhtä ja itseään.

Mikä tahansa yhdistelmäluku, kuten 220 tai 284, voidaan ilmaista tällä tavalla:

N = aⁿ . b -^m. c^p… R^{k -k -}

Missä a, b, c ... r ovat ensisijaisia ​​lukuja ja n, m, p ... k ovat luonnollisiin lukuihin kuuluvia eksponentteja, jotka voivat olla arvoltaan 1 eteenpäin.

Näiden eksponenttien suhteen on kaava tietää, kuinka monella (mutta ei mikä) jakajalla on numero n. Olkoon c tämä määrä:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Kun numero n ilmaistaan ​​ensisijaisten tuotteiden tuotteiden suhteen ja tiedetään kuinka monella jakajalla on, sinulla on jo työkaluja tietää, mitkä ovat heidän jakautuneet, sekä serkut että muut kuin muut kuin muut kuin muut. Ja on tarpeen tavata heidät kaikki tarkistaa, ovatko he ystäviä, paitsi viimeinen, mikä on itse numero.

Ratkaisut

- Harjoitus 1

Löydä kaikki parin ystävän jakajat 220 ja 284.

Ratkaisu

Ensin löydämme 220: n pääjakajat, jotka ovat yhdistelmänumero:

Voi palvella sinua: Täsmällinen arvio

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

220: n päätekijöiden hajoaminen on:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. yksitoista

Siksi n = 2, m = 1, p = 1 ja omistaa:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 divisoria

Ensimmäiset jakajat, joita varoitetaan numeron hajoamisesta, ovat: 1, 2, 4, 5 ja yksitoista. Ja he ovat myös 110 ja 55.

5 heistä puuttuisi, jotka tekevät tuotteita serkkujen ja heidän yhdistelmiensä välillä: 2².5 = kaksikymmentä;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 ja lopuksi 1 Ja hänen oma 220.

Noudattua vastaavaa menettelyä 284: lle:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 jakajaa

Nämä jakajat ovat: 1, 2, 4, 71, 142 ja 284, kuten alussa todettiin.

Kuva 2. Nämä parit voidaan analysoida kuvatulla menetelmällä varmistaakseen, että he ovat ystävienumeroita. Lähde: f. Zapata.

- Harjoitus 2

Tarkista Euler -kaava N = 4: lle ja M = 3 luo luettelo alareunoista (P, Q, R) = (23,47, 1151). Mikä on heidän kanssaan muodostettu pari ystävää?

Ratkaisu

Alkeisluvut P, ​​Q ja R lasketaan:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

M = 3: n ja n = 4: n arvojen korvaaminen saadaan:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Nyt kaavaa käytetään löytämään pari ystävänumeroa A ja B:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr - 

A = 2ⁿPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

Ja todellakin, he ovat luettelossa ensimmäisistä ystävänumeroiden parista, joita aiemmin osoitamme.

Viitteet

1. Baldor, a. 1986. Aritmeettinen. Codex -versiot ja jakaumat.
2. Kaikki päälukuista. Ystävienumerot. Toipunut: Sairaanhoitaja.org.
3. Wolfram Mathworld. Eulerin sääntö. Toipunut: MathWorld.Susi.com.
4. Wikipedia. Sovinnolliset numerot. Haettu: vuonna.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Ystävienumerot. Palautettu: on.Wikipedia.org.