Matematiikka

Moninkertaiset periaatteiden laskentatekniikat ja esimerkit

Moninkertaiset periaatteiden laskentatekniikat ja esimerkit

Mikä on moninkertainen periaate?

Hän moninkertainen periaate Se on tekniikka, jota käytetään ratkaisun ratkaisemiseen ratkaisun löytämiseksi ilman, että sen elementit on tarpeen luetteloida. Se tunnetaan myös yhdistelmäanalyysin perusperiaatteeksi; Se perustuu peräkkäiseen kertolaskuun tapaan, jolla tapahtuma voi tapahtua.

Tämä periaate osoittaa, että jos päätös (D1) Sitä voidaan tehdä N -tavoilla ja toisella päätöksellä (D2) Mneras voidaan ottaa, niiden päätökset D voidaan tehdä1 ja D2 Se on sama kuin kerroin n * m. Periaatteen mukaan jokainen päätös tehdään toisen jälkeen:1 * N2.. * Nx tapoja.

Esimerkit

Esimerkki 1

Paula aikoo mennä elokuvateatteriin ystäviensä kanssa ja valita vaatteet, joita hän käyttää, erottaa 3 puseroa ja 2 hameita. Kuinka monta tapaa Paula voi pukeutua?

  • Ratkaisu

Tässä tapauksessa Paulan on tehtävä kaksi päätöstä:

d -d1 = Valitse 3 puseroa = n

d -d2 = Valitse 2 hamea = m

Tällä tavalla Paulalla on n * M Päätökset tehdä tai erilaisia ​​tapoja pukeutua.

n * M = 3* 2 = 6 päätöstä.

Moninkertainen periaate syntyy puukaaviotekniikasta, joka on kaavio, joka liittyy kaikki mahdolliset tulokset, jotta jokainen voi tapahtua rajallinen määrä kertoja.

Esimerkki 2

Mario oli hyvin janoinen, joten hän meni leipomoon ostamaan mehua. Luis palvelee häntä ja kertoo hänelle, että hänellä on kahdessa koossa: iso ja pieni; ja neljä makua: omena, oranssi, sitruuna ja viinirypäleet. Kuinka monta tapaa Mario voi valita mehun?

  • Ratkaisu

Kaaviossa voidaan nähdä, että Mariolla on 8 erilaista tapaa valita mehu ja että, kuten monimuotoisessa periaatteessa, tämä tulos saadaan kertomalla n*m. Ainoa ero on, että tämän kaavion avulla voit tietää, mitkä tavat Mario valitsee mehun.

Voi palvella sinua: luokkabrändi

Toisaalta, kun mahdollisten tulosten lukumäärä on erittäin suuri, on käytännöllisempää käyttää moninkertaista periaatetta.

Laskentatekniikat

Laskentatekniikat ovat menetelmiä, joita käytetään suoran määrän laatimiseen, ja siten tietävät, kuinka. Nämä tekniikat perustuvat useisiin periaatteisiin:

Lisäysperiaate

Tämä periaate osoittaa, että jos kaksi M- ja N -tapahtumaa ei voi tapahtua samanaikaisesti, ensimmäisen tai toisen tapahtuman tapaan on M + N: n summa:

Lomakkeiden lukumäärä = m + n ... + x eri muodot.

Esimerkki

Antonio haluaa tehdä matkan, mutta ei päätä mikä kohde; Etelä -matkailuvirastossa he tarjoavat ylennyksen matkustaa New Yorkiin tai Las Vegasiin, kun taas itämatkailuvirasto suosittelee matkustamista Ranskaan, Italiaan tai Espanjaan. Kuinka monta erilaista matkavaihtoehtoa Antonio tarjoaa?

Ratkaisu

Eteläisen matkailuviraston kanssa Antoniolla on 2 vaihtoehtoa (New York tai Las Vegas), kun taas itäisen matkailuviraston kanssa sillä on 3 vaihtoehtoa (Ranska, Italia tai Espanja). Eri vaihtoehtojen lukumäärä on:

Vaihtoehtojen lukumäärä = m + n = 2 + 3 = 5 vaihtoehtoa.

Permutaatioperiaate

Kyse on erityisesti kaikkien tai joidenkin elementtien tilaamisesta, jotka muodostavat joukon kaikkien mahdollisten järjestelyjen laskemista, jotka voidaan tehdä elementeillä.

N: n eri elementtien permutaatioiden lukumäärä, joka on otettu kerralla, on esitetty seuraavasti:

nPn = n!

Esimerkki

Neljä ystävää haluaa ottaa kuvan ja haluaa tietää, kuinka monta eri tapaa voidaan tilata.

Ratkaisu

Haluat tietää sarjan kaikista mahdollisista tavoista, joilla 4 ihmistä voidaan asettaa ottamaan valokuvan. Siten sinun täytyy:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 eri tapaa.

Jos käytettävissä olevien N -elementtien permutaatioiden lukumäärä otetaan osaksi R -elementtien muodostaman sarjan osia, se on esitetty seuraavasti:

Voi palvella sinua: mikä on tilastoalue? (Esimerkkejä)

nPR = n! ÷ (n - r)!

Esimerkki

Luokkahuoneessa sinulla on 10 paikkaa. Jos 4 opiskelijaa osallistuu luokkaan, kuinka monta eri tapaa opiskelijat voivat miehittää asemat?

Ratkaisu

Tuolien kokonaismäärä on 10, ja niitä käytetään vain 4. Annettua kaavaa käytetään permutaatioiden lukumäärän määrittämiseen:

nPr - = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 tapaa miehittää asentoja.

On tapauksia, joissa jotkut sarjan käytettävissä olevat elementit toistetaan (ne ovat yhtä suuret). Kaikkien elementtien ottavien järjestelyjen lukumäärän laskemiseksi samanaikaisesti käytetään seuraavaa kaavaa:

nPr - = n! ÷ n1!* n2!… Nr -!

Esimerkki

Kuinka monta eri sanaa neljästä kirjaimesta voidaan muodostaa sanasta "susi"?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa on 4 elementtiä (kirjaimia), joista kaksi on täsmälleen samat. Annetun kaavan soveltamisessa tiedetään kuinka monta eri sanaa on:

nPr - = n! ÷ n1!* n2!… Nr -!

4P2, 1,1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 erilaista sanaa.

Yhdistelmäperiaate

Kyse on kaikkien tai joidenkin elementtien kiinnittämisestä, jotka muodostavat sarjan ilman tiettyä järjestystä. Esimerkiksi, jos sinulla on XYZ -järjestely, tämä on identtinen muun muassa ZXY: n, YZX-, ​​ZYX -järjestelyjen kanssa; Tämä johtuu siitä, että huolimatta siitä, etteivät ne ole samassa järjestyksessä, kunkin järjestelyn elementit ovat samat.

Kun joitain sarjan (n) elementtejä (r) (n), yhdistelmäperiaate annetaan seuraavalla kaavalla:

nCR = n! ÷ (n - r)!r -!

Esimerkki

Kaupassa he myyvät 5 erityyppistä suklaata. Kuinka monta eri tapaa 4 suklaata voidaan valita?

Voi palvella sinua: Yhteydet: Yhteydet hahmot, kriteerit, esimerkit, harjoitukset
Ratkaisu

Tässä tapauksessa sinun on valittava 4 suklaata viidestä tyypistä, jotka myyvät myymälässä. Määräyksellä, jossa ne valitaan. Kaavan soveltaminen, sinun on:

nCr - = n! ÷ (n - r)!r -!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 eri tapaa valita 4 suklaata.

Kun kaikki sarjan (n) elementit (r) (n), yhdistelmän periaate annetaan seuraavalla kaavalla:

nCn = n!

Ratkaisut

Harjoitus 1

Sinulla on baseball -joukkue, jossa on 14 jäsentä. Kuinka monta tapaa 5 asemaa voidaan osoittaa peliin?

  • Ratkaisu

Sarja koostuu 14 elementistä ja haluat määrittää 5 erityistä sijaintia; eli järjestyksellä on merkitystä. Permutaatiokaavaa sovelletaan, jos käytettävissä olevat N -elementit otetaan osaksi R -muodostettua sarjaa.

nPR = n! ÷ (n - r)!

Missä n = 14 ja r = 5. Se korvataan kaavassa:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 tapaa antaa 9 pelin sijaintia.

Harjoitus 2

Jos 9 jäsenen perhe menee matkalle ja ostaa lippujaan peräkkäisillä asemilla, kuinka monta eri tapaa voi istua?

  • Ratkaisu

Nämä ovat 9 elementtiä, jotka vievät 9 paikkaa peräkkäin.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 Erilaisia ​​tapoja istua.

Viitteet

  1. Hopkins, b. (2009). Resurssit erillisen matematiikan opettamiseen: luokkahuoneprojektit, historiamoduulit ja artikkelit.
  2. Johnsonbaugh, r. (2005). Diskreetti matematiikka. Pearson -koulutus,.
  3. Lutfiyya, l. -Lla. (2012). Rajallinen ja erillinen matematiikan ongelmanratkaisija. Tutkimus- ja koulutusyhdistyksen toimittajat.
  4. Padró, f. C. (2001). Diskreetti matematiikka. Poliittinen. Katalonia.
  5. Steiner, E. (2005). Sovellustieteiden matematiikka. Palautus.