Lähestymistavan laskenta eroja käyttämällä

Matematiikan lähestymistapa on numero, joka ei ole jonkin tarkka arvo, mutta on yhtä lähellä tätä, jota pidetään yhtä hyödyllisenä kuin mainittu tarkka arvo.

Kun suoritetaan matematiikan lähestymistapoja, se johtuu siitä, että on manuaalisesti vaikeaa (tai joskus mahdotonta) tietää haluamasi tarkka arvo.

Tärkein työkalu lähestymistapojen kanssa on funktion ero. F -funktion differentiaali, jota merkitään Δf (x), ei ole muuta kuin funktion f johdannainen, joka kerrotaan riippumattoman muuttujan muutoksella, ts. Δf (x) = f '(x)*Δx.

Joskus DF: tä ja DX: tä käytetään ΔF: n ja AX: n sijasta.

Lähestymistavat käyttämällä erilaista

Kaava, jota sovelletaan likiarvon suorittamiseen differentiaalin kautta, syntyy vain funktion johdannaisen määritelmästä rajana.

Tämä kaava annetaan:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Tässä ymmärretään, että Δx = x-x0, siksi x = x0+Δx. Tätä käyttämällä kaava voidaan kirjoittaa uudelleen

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

On huomattava, että "x0" ei ole mielivaltainen arvo, mutta se on niin arvo, että F (x0) on helposti tiedossa; Lisäksi "f (x)" on vain arvo, jota haluamme lähestyä.

Onko parempia lähestymistapoja?

Vastaus on kyllä. Edellinen on yksinkertaisin lähestymistavoista, joita kutsutaan "lineaariseen lähestymistapaan".

Parempien laatulähestymistapojen saavuttamiseksi (tehty virhe on alhaisempi), käytetään polynomeja, joissa on enemmän johdannaisia, joita kutsutaan "Taylor-polynomeiksi", samoin kuin muita numeerisia menetelmiä, kuten Newton-Raphson-menetelmä muun muassa.

Strategia

Seuraava strategia on:

- Valitse riittävä F -funktio suorittaaksesi ”x” likiarvo ja arvo, jonka F (x) on arvo, jonka haluat likimääräisesti.

- Valitse ”x0” -arvo, lähellä “x”, siten, että F (x0) on helppo laskea.

- Laske Δx = x-x0.

- Laske johdettu funktio ja f '(x0).

- Korvaa kaavan tiedot.

Ratkaistu lähestymisharjoitukset

Jatkossa on useita harjoituksia, joissa likiarvot suoritetaan käyttämällä erilaista.

1. Ensimmäinen harjoitus

Likysi √3.

Ratkaisu

Strategian noudattamisen jälkeen sinun on valittava riittävä toiminto. Tässä tapauksessa voidaan nähdä, että valitun funktion on oltava f (x) = √x ja likimääräisen arvon arvo on f (3) = √3.

Nyt sinun on valittava ”x0” -arvo lähellä “3” siten, että F (x0) on helppo laskea. Jos valitaan “x0 = 2”, sen on oltava “x0” on lähellä “3”, mutta f (x0) = f (2) = √2 ei ole helppo laskea.

"4", "4", "x0" -arvo, koska "4" on lähellä "3" ja myös f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jos “x = 3” ja “x0 = 4”, niin Δx = 3-4 = -1. Nyt F -johdannainen lasketaan. Eli f '(x) = 1/2*√x, niin että f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Kaikkien kaavan arvojen korvaaminen saadaan:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Jos käytetään laskinta, saadaan, että √3≈1.73205 ... Tämä osoittaa, että edellinen tulos on hyvä arvio todellisesta arvosta.

2. Toinen harjoitus

Lähestö √10.

Ratkaisu

Kuten aiemmin, se valitaan funktioksi f (x) = √x ja tässä tapauksessa x = 10.

X0: n arvo, joka on valittava tässä yhteydessä, on "x0 = 9". Se on sitten välttämätöntä.

Arvioidessaan kaavassa on saatu

√10 = F (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Käyttämällä laskimia saadaan, että √10 ≈ 3.1622776… Täällä voit myös nähdä, että hyvä lähestymistapa on saatu aiemmin.

3. Kolmas harjoitus

Lähestys ³√10, missä ³√ tarkoittaa kuutiojuuria.

Ratkaisu

On selvää, että funktio, jota tulisi käyttää tässä harjoituksessa, on f (x) = ³√x ja "x": n arvo on oltava "10".

Arvo lähellä "10" siten, että sen kuutiojuuri tunnetaan olevan "x0 = 8". Sitten sinun täytyy Δx = 10-8 = 2 ja f (x0) = f (8) = 2. Sinun on myös f '(x) = 1/3*³√x² ja seurauksena /12.

Tietojen korvaaminen kaavassa on saatu, että:

³√10 = F (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Laskin sanoo, että ³√10 ≈ 2.15443469… Siksi löydetty likiarvo on hyvä.

4. Neljäs harjoitus

Lähestys LN (1.3), missä "ln" tarkoittaa luonnollista logaritmitoimintoa.

Ratkaisu

Ensin se valitaan funktioksi f (x) = ln (x) ja arvon arvo on 1.3. Nyt, kun tiedät vähän logaritmitoiminnosta, voit tietää, että ln (1) = 0 ja myös "1" on lähellä "1.3 ". Siksi valitaan ”x0 = 1” ja niin Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Toisaalta f '(x) = 1/x, niin f' (1) = 1. Arvioidessasi tietyssä kaavassa sinun on:

ln (1.3) = F (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Kun käytät laskuria, sinun on LN (1.3) ≈ 0.262364 ... niin että tehty likiarvo on hyvä.