Osittaiset fraktiot

Osittaisten fraktioiden hajoamismenetelmää käytetään integraalien ratkaisemiseen. Lähde: f. Zapata.

Mitkä ovat osittaiset fraktiot?

Menetelmä osittaiset fraktiot o Käytetään yksinkertaisia ​​fraktioita algebrassa ja matemaattisessa laskelmassa rationaalisen ekspression hajottamiseksi, jolloin yksinkertaisempien fraktioiden algebrallinen summa jätetään.

Yksinkertaisten fraktioiden lisäksi helpotetaan toimintojen, kuten johdannaisten ja integraalien, laskemista, kuten johdannaisia ​​ja integraaleja.

Tarkastellaan seuraavaa rationaalista algebrallista ekspressiota, joka koostuu polynomista P (x) ja Q (x) numeraattorissa ja nimittäjissä, vastaavasti:

Haluat kirjoittaa tämän ilmaisun pienempien fraktioiden summana. Tätä varten on huomattava, että nimittäjän polynomi q (x) on neliömäinen trinomiaalinen, joka voi olla nopeasti tekijä kahden tekijän tuotena:

x²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Siksi edellinen lauseke pysyy seuraavasti:

Tietäen fraktioiden summan, tämä ilmaus kirjoittaa helposti tähän toiseen:

On vielä löytää A: n ja B: n arvot, niin että alkuperäinen lauseke ilmaistaan ​​näiden kahden pienemmän fraktion summana. Esitetyn esimerkin arvot ovat: a = 3 ja b = 2, ja lukija voi vahvistaa, että käytännössä summa:

Se vastaa alkuperäistä lauseketta:

Olettaen että:

Kuinka osittaiset fraktiot lasketaan?

On menetelmiä kertoimien laskemiseksi, joiden on mentävä yksinkertaisten fraktioiden osoittomiin, jotka riippuvat alkuperäisen rationaalisen lausekkeen muodosta, ts. P (x)/Q (x) -muodosta (x).

Ensinnäkin on muistettava, että kun p (x) -aste on pienempi kuin q (x), se on a oma rationaalinen ilmaisu, Ja jos tapahtuu päinvastoin, se on a väärin rationaalinen ilmaisu.

Yksinkertaisten fraktioiden hajoamismenetelmät viittaavat heidän omiin algebrallisiin lausekkeisiinsa, jos niitä ei ole, niitä on ensin vähennettävä, jako -operaation P (x)/Q (x) suorittaminen suorittamalla.

Se voi palvella sinua: trigonometrinen identiteetti (esimerkit ja harjoitukset)

Sitten tavoitteena on löytää kunkin fraktion osoittajat, joille on erotettu neljä tapausta, mikä riippuu nimittäjän Q (x) tekijästä (x) tekijästä.

Tapaus 1: Q (x): n tekijät ovat lineaarisia eikä toistuvia

Jos Q (x): n tekijät ovat lineaarisia eikä toistu, ts. Ne ovat muodoltaan (x-a_Yllyttää)

Q (x) = (x -a₁) (₂)… (_n-A

Kanssa₁ ≠ A₂  ≠ A₃ … ≠ a_n, Eli kaikki Q (x): n tekijät ovat erilaisia, rationaalinen ilmaisu on kirjoitettu seuraavasti:

A: n arvot₁, -Lla₂, -Lla₃…_n, Ne on määritettävä. Alussa esitetty järkevä lauseke on esimerkki tästä tapauksesta.

Tapaus 2: Q (x) on toistunut lineaariset tekijät

Jos q (x) koostuu muodon toistuvasta tekijästä (x - a)ⁿ, N ≥ 2: n kanssa hajoaminen osittaisissa fraktioissa suoritetaan seuraavasti:

Kuten edellisessä tapauksessa, kertoimet on määritettävä algebrallisilla toimenpiteillä.

Tapaus 3: Q (x): lla on korjaamaton peruuttamaton kvadraattinen tekijä

Jos ottamalla huomioon q (x) peruuttamaton kvadraattinen tekijä ilmestyy, kirvesmuodosta²+BX+C, tälle tekijälle, hajoamiseen on sisällytettävä, lisäys tämän lomakkeen kanssa:

A- ja B -arvot on löydettävä.

Tapaus 4: Q (x) on peruuttamaton ja toistuva kvadraattinen tekijä

Olettaen, että q (x): n tekijä sisältää peruuttamattoman ja toistuvan kvadraattisen tekijän²+BX+C)ⁿ, Seuraavat lisäosat on sisällytettävä:

Kuten aina, tarvittavat kertoimet on laskettava. Alla olevat esimerkit osoittavat tarvittavat algebralliset menettelyt.

Esimerkkejä osittaisista fraktioista

Esimerkki 1

Seuraava oma rationaalinen ilmaisu:

Sen mukana tulee jo faktoroidun nimittäjän, joka koostuu kahdesta toistumattomasta lineaarisesta tekijästä, joten Q (x) on:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Sitten haetut hajoaminen osittaisina fraktioissa vastaa tapausta 1, joka pystyy kirjoittamaan:

A- ja B: n vastaavien arvojen löytämiseksi tasa -arvon summa suoritetaan:

Voi palvella sinua: ellipsi

Tasauslaskut:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Jakautuvan ominaisuuden soveltaminen ja samanlaisten termien ryhmittely:

AX - A + BX + 2B = 3X

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Kerroin (A+B) on yhtä suuri kuin 3, koska molemmat seuraavat tasa -arvon molemmilla puolilla termille, joka sisältää "x". Sen puolestaan ​​kerroin (−A+2B) on yhtä suuri kuin 0, koska tasa -arvo oikealla puolella ei ole muuta vastaavaa termiä.

Sitten muodostetaan seuraava kahden yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla:

A+B = 3
−A+2b = 0

Kenen ratkaisu on:

A = 2
B = 1

Siksi:

Lukija voi tarkistaa tasa -arvon suorittamalla oikealla olevien osien summan.

Esimerkki 2

Tässä toisessa ilmaisussa:

Vaikuttanut myös, toistuvan termin esiintyminen (x+1) havaitaan², Lineaarisen termin lisäksi (x+2). Tällöin hajoaminen osittaisissa fraktioissa, kuten tapaus 2 on osoitettu, on:

A-, B- ja C -arvojen löytämiseksi oikean summa suoritetaan ja käytetään vain numeroijaa:

Tuloksena olevan ekspression osoittaja on yhtä suuri kuin alkuperäisen lausekkeen, kehitettäessä algebrallisesti samanlaisten termien erottamiseksi:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Tuloksesta kolmen yhtälön järjestelmä kolmella tuntemattomalla A, B ja C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2B+2C = −3

Järjestelmäratkaisu on:

A = −5
B = 5
C = −4

Pyydettyjen osittaisten fraktioiden hajoaminen on:

Liikuntaa

Tässä osassa esitetään ratkaistu harjoitus, joka kuvaa osittaisten fraktioiden tai yksinkertaisten fraktioiden soveltamista määrittelemättömien integraalien laskemiseen. Tavoitteena on kirjoittaa integraatio yksinkertaisemmalla tavalla.

Kun olet kirjoitettu uudelleen, tuloksena olevat yksinkertaiset integraalit etsivät taulukossa tai ratkaistaan ​​yksinkertaisella muuttujalla muutoksella.

Voi palvella sinua: Analyyttisen geometrian historiallinen tausta

Seuraava integraali pyydetään laskemaan:

Ratkaisu

Ensimmäinen on varmistaa, että integroituminen on todellakin oma rationaalinen algebrallinen ilmaisu, koska numeraattorin aste on pienempi kuin nimittäjän aste. Sen nimittäjä on helposti tekijä ja pysyy:

Siksi q (x) on:

Q (x) = x (x²+2)

Ja se koostuu lineaarisesta termistä: x ja peruuttamaton neliöllinen termi ei toistettu: x x²+2, siksi se on tapaus 1 ja tapaus 3 yhdistelmä. Integraation osittaisten fraktioiden hajoaminen on:

Summan tekeminen tasa -arvo oikealla puolella:

Kuten aina, osittaiset fraktiot toimivat vain summa -lausekkeen numeraattorin kanssa, jonka tulisi aina olla yhtä suuri kuin alkuperäisen lausekkeen lausekkeet:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Kehittäminen:

Kirves² + 2a + bx² + Cx = 2

Samankaltaisten termien ryhmittely:

(A+b) x² + Cx + 2a = 2

Samankaltaisten termien kertoimet saadaan ratkaisevien yhtälöjärjestelmän, jolla on tuntemattomat A, B ja C:

A + B = 0
C = 0
2a = 2

Toisesta yhtälöstä on jo tiedossa, että C = 0 viimeisestä seuraa, että a = 1, siksi b = -1, niin että ensimmäinen. Näiden arvojen kanssa se on saatu:

Nyt se korvataan alkuperäisessä integraalissa:

Ja saadaan kaksi yksinkertaista integraalia, joissa on alkuainetoimintoja, löytyy taulukoista tai ovat nopeat resoluutiot.

Ensimmäinen IDE Nämä integraalit ovat alkeellisia:

Ja toinen integraali:

Se ratkaistaan ​​seuraavalla muuttujan muutoksella: u = x²+4, du = 2xdx, aiheuttaen:

Muuttujan muutoksen palauttaminen:

Lopuksi keräämällä molemmat tulokset, ratkaisu määritetään:

Kaksi integraatiovakiota menevät yhdessä, nimeltään C.

Viitteet

1. Araujo, f. 2018. Kiinteä laskenta. Salesian ammattikorkeakoulu. Abya-Yala-yliopiston toimitus. Ecuador.
2. Arcega, r. Integraatio hajoamisella osittaisina fraktioissa. Palautettu: UAEH.Edu.MX.
3. Larson, r. 2012. Ennakkoluulo. Kahdeksas. Painos. Cengage -oppiminen.
4. Purcell, E. J -. 2007. Laskeminen. 9NA. Painos. Prentice Hall.
5. Swokowski, E. 2011. Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. 13. päivä. Painos. Cengage -oppiminen.