Boolen algebran historia, lauseet ja postulaatit, esimerkit

Hän Boolen algebra o Boolen algebra on algebrallinen merkintä, jota käytetään binaarimuuttujien hoitoon. Kattaa minkä tahansa muuttujan tutkimukset, joilla on vain 2 mahdollista, täydentävää ja yksinoikeutta tulosta toistensa kanssa. Esimerkiksi muuttujat, joiden ainoa mahdollisuus on totta tai väärä, oikea tai väärä, päällä tai pois päältä, ovat boolean algebran tutkimuksen perusta.

Boolen algebra muodostaa digitaalisen elektroniikan perustan, mikä tekee siitä melko läsnä nykyaikaisuudessa. Sitä säätelee loogisten porttien käsite, jossa perinteisessä algebrassa tunnetut operaatiot vaikuttavat huomattavasti.

Lähde: Pexels.com

[TOC]

Historia

Englantilainen matemaatikko George Boole (1815 - 1864) esitteli vuonna 1854 Boolean -algebran, joka oli tuolloin itsetutkija tutkija. Hänen huolenaiheensa syntyi Morganin Augustuksen ja William Hamiltonin välisestä kiistasta parametreista, jotka määrittelevät tämän loogisen järjestelmän.

George Boole väitti, että numeeristen arvojen 0 ja 1 määritelmä vastaa logiikan kentällä tulkintaa Ei mitään universumi vastaavasti.

George Boolen tarkoituksena oli määritellä algebran ominaisuuksien kautta binaarimuuttujien käsittelemiseksi tarvittavan ehdotuslogiikan ilmaisut.

Vuonna 1854 BOOLEAN -algebran merkittävimmät osat julkaistaan ​​kirjassa "Tutkimus ajatuslakeista, mitkä logiikan ja todennäköisyyden matemaattiset teoriat perustuvat ”.

Tämä utelias otsikko esitetään myöhemmin nimellä "Ajatuslait "(" Ajatuslait "). Otsikko hyppäsi kuuluisuuteen johtuen sen välittömän huomion vuoksi.

Vuonna 1948 Claude Shannon levitti sitä kaksiosaisten sähkökytkinpiirien suunnittelussa. Tämä toimi johdannona Boolen algebran soveltamiseen koko elektronisen digitaalisen järjestelmän sisällä.

Rakenne

Tämän tyyppisen algebran perusarvot ovat 0 ja 1, jotka vastaavat vastaavasti vääriä ja totta. Boolen algebran perustoiminnot ovat 3:

- Ja konjunktion toiminta. Edustaa pistettä ( . -A. Tuotteen synonyymi.

- Tai tai disjunktiotoiminta. Edustaa ristiä ( +) .Summan synonyymi.

- Ei toimintaa tai denaatiota. Edustaa etuliitettä, ei (ei A). Se tunnetaan myös nimellä täydennys.

Jos tuotteina määritetään 2 sisäisen koostumuksen laki, ja summa määritetään ( .  + ), sanotaan, että luettelo (a . + ) Se on boolean algebra, jos ja vain jos mainittu luettelo täyttää jakeluun liittyvän retikulumin ehdot.

Se voi palvella sinua: rationaaliset numerot: Ominaisuudet, esimerkit ja toiminnot

Jakautuvan retikulumin määrittelemiseksi jakautumisolosuhteet on täytettävä:

. on jakautuva summan suhteen +                   -lla . (b + c) = (a . b) + (a . c)

+ on jakautuva tuotteen suhteen.                  A + (b . c) = (a +b) . (A + C)

Elementit, jotka muodostavat joukon A, on oltava binaarisia, joten niiden arvot ovat Universumi tai tyhjyys.

Sovellukset

Sen suurin sovellusskenaario on digitaalinen sivuliike, jossa se palvelee piirien muodostavia piirejä. Piirien taiteen yksinkertaisuus prosessien optimoimiseksi on seurausta Boolen algebran oikeasta sovelluksesta ja käytännöstä.

Sähkötaulujen laatimisesta, datan siirron kautta, kunnes se on saavuttanut ohjelmoinnin eri kielillä, löydämme usein Boolen algebran kaikentyyppisistä digitaalisista sovelluksista.

Boolen muuttujat ovat hyvin yleisiä ohjelmointirakenteessa. Käytetystä ohjelmointikielestä riippuen koodin rakenneoperaatiot, jotka käyttävät näitä muuttujia. Kunkin kielen ehdolliset ja argumentit myöntävät Boolen muuttujat prosessien määrittelemiseksi.

Postulaatit

On lauseita, jotka hallitsevat Boolen algebran rakenteellisia logiikkalakeja. Samoin heidän oletetaan tietävän mahdolliset tulokset binaarimuuttujien eri yhdistelmissä, suoritetun operaation mukaan.

Summa (+)

Operaattori Tai jonka looginen elementti on Union (U) määritelty binaarimuuttujille seuraavasti:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Tuote (.-A

Operaattori Ja jonka looginen elementti on risteys (∩) on määritelty binaarimuuttujille seuraavasti:

0 - . 0 = 0

0 - . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Vastapäätä (ei)

Operaattori Ei jonka looginen elementti on komplementti (x) 'määritetään binaarimuuttujille seuraavasti:

Ei 0 = 1

Ei 1 = 0

Monet postulaatit eroavat vastaavista tavanomaisessa algebrassa. Tämä johtuu muuttujien alueesta. Esimerkiksi Universe -elementtien lisääminen Boolen algebraan (1 + 1) ei voi tuottaa tavanomaista tulosta 2, koska se ei kuulu binaarikompleksin elementteihin.

Lauseet

Nollasääntö ja yksikkö

Määritetään mikä tahansa yksinkertainen toimenpide, joka sisältää elementin binaarimuuttujilla:

0 + a = a

1 + a = 1

0 - . A = 0

1 . A = a

Tasavertaiset valtuudet tai idemploynce

Operaatiot yhtä suuret muuttujat määritetään seuraavasti:

Voi palvella sinua: Yhteydet: Yhteydet hahmot, kriteerit, esimerkit, harjoitukset

A + A = A

-Lla . A = a

Täydennys

Kaikki muuttujan ja sen komplementin väliset operaatiot määritellään seuraavasti:

A + ei a = 1

-Lla . Ei A = 0

Pohja tai kaksinkertainen kieltäminen

Kaikkia kaksinkertaista kieltämistä pidetään luonnollisena muuttujana.

Ei (ei a) = a

Kommutatiivinen

A + b = b + a; Summan kesä.

-Lla . B = b . To; Tuote -kommulatiivisuus.

Assosiatiivinen

A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c; Summayhdistys.

-Lla . (B . C) = (a . B) . C = a . B - . C; Tuoteyhteys.

Jakautuva

A + (b . C) = (a + b) . (A + c); Jaa summa tuotteen suhteen.

-Lla . (B + c) = (a . B) + (a + c); Tuotteen jakautuminen summan suhteen.

Absorptiolaki

Useiden viittausten välillä on monia absorptiolakeja, jotkut tunnetuimmista ovat:

-Lla . (A + b) = a

-Lla . (Ei a + b) = a . B -

Ei a (a + b) = ei a . B -

(A + B) . (A + ei b) = a

A + a . B = a

A + ei a . B = a + b

Ei + a . B = ei A + B

-Lla . B + a . Ei b = a

Morganin lause

Ne ovat muutoslakeja, jotka hallitsevat muuttujien pareja, jotka ovat vuorovaikutuksessa Boolen algebran määriteltyjen toimintojen välillä ( + . -A.

HUOMAUTUS . B) = ei a + ei b

Ei (a +b) = ei a . Ei b

A + B = ei (ei + ei b)

-Lla . B = ei (ei a . Ei b)

Kaksinaisuus

Kaikilla postulaateilla ja lauseilla on kaksinaisuuden voima. Tämä tarkoittaa, että vaihtamalla muuttujat ja toiminnot, tuloksena oleva ehdotus vahvistetaan. Eli vaihdettaessa 0 1 ja ja tai päinvastoin; Luodaan lauseke, joka on myös täysin pätevä.

Esimerkiksi jos otat postulaatin

1 . 0 = 0

Ja kaksinaisuutta käytetään

0 + 1 = 1

Toinen täysin pätevä postulaatti saadaan.

Karnaugh -kartta

Karnaughin kartta on Boolean -algebrassa käytetty kaavio loogisten toimintojen yksinkertaistamiseksi. Se koostuu kahden ulottuvuuden järjestelystä, joka on samanlainen kuin ehdotuslogiikan totuustaulukot. Oikeiden taulukoiden tiedot voidaan suoraan ruuduttaa Karnaugh -kartalla.

Karnaughin kartta voi sijoittaa prosessit jopa 6 muuttujaa. Toiminnoille, joissa on suurempi määrä muuttujia, suositellaan ohjelmiston käyttöä prosessin yksinkertaistamiseksi.

Maurice Karnaugh ehdotti vuonna 1953, se perustettiin kiinteä työkalu Boolen kentälle.

Esimerkit

Boolen algebra vähentää piirin loogisia ovia, joissa ensisijainen tavoite on tuoda piirin monimutkaisuus tai taso sen minimiin mahdolliselle lausekkeelle. Tämä johtuu laskennallisesta viivästyksestä, jonka jokainen ovi olettaa.

Seuraavassa esimerkissä havaitsemme loogisen lausekkeen yksinkertaistamista sen vähimmäisilmaisun saakka käyttämällä Boolen algebran lauseita ja postulaatteja.

Ei (ab + a + b) . Ei (A + ei b)

Ei [a (b + 1) + b] . Ei (A + ei b); Factoring a yleinen tekijä.

Voi palvella sinua: lähestymistapojen laskeminen erottelujen avulla

Ei [a (1) + b] . Ei (A + ei b); Lause A + 1 = 1.

Ei (A + B) . Ei (A + ei b); Lauseen a . 1 = a

( HUOMAUTUS . Ei b) . [ HUOMAUTUS . Ei (ei b)];

Morganin lause ei (a + b) = ei a . Ei b

( HUOMAUTUS . Ei b) .  ( HUOMAUTUS . B); Kaksoisykilause ei (ei a) = a

HUOMAUTUS . Ei b . HUOMAUTUS . B; Algebrallinen ryhmä.

HUOMAUTUS . HUOMAUTUS . Ei b . B; Tuotteen kommutateus . B = b . -Lla

HUOMAUTUS . Ei b . B; Lauseen a . A = a

HUOMAUTUS . 0; Lauseen a . Ei A = 0

0; Lauseen a . 0 = 0

-Lla . B - . C + ei A + a . Ei b . C

-Lla . C . (B + ei b) + ei a; Tekijä (a . C) yhteisen tekijän kanssa.

-Lla . C . (1) + ei a; Lauseen a + ei a = 1

-Lla . C + ei a; Nolla sääntölause ja yksikkö 1 . A = a

Ei + c ; Laki Morganista + ei a . B = a + b

Tätä ratkaisua varten Morganin lakia on laajennettava määrittelemään:

Ei (ei A) . C + ei a = ei A + c

Koska ei (ei a) = a.

Yksinkertaista loogista toimintoa

HUOMAUTUS . Ei b . Ei c + ei a . Ei b . C + ei a . Ei C ennen kuin sen vähimmäisilmaisu

HUOMAUTUS . Ei b . (Ei c + c) + ei a . Ei c; Tekijä (ei a . Ei b) yhteisen tekijän kanssa

HUOMAUTUS . Ei b . (1) + ei a . Ei c; Lauseen a + ei a = 1

(HUOMAUTUS . Ei b) + (ei a . Ei c);  Nolla sääntölause ja yksikkö 1 . A = a

Ei A (ei b + ei c); Factoring ei a, jolla on yhteinen tekijä

HUOMAUTUS . Ei (b . C); Morganin lakien mukaan (a . B) = ei a + ei b

Ei [A + (B . C)] Morganin lakien mukaan (a . B) = ei a + ei b

Mikä tahansa neljästä lihavoidusta vaihtoehdosta edustaa mahdollista ratkaisua piiritason alentamiseksi

Yksinkertaista loogista toimintoa sen vähimmäisilmaisun saakka

( . Ei b .  C + a . Ei b . B - . D+ ei a . Ei b) . C

( . Ei b . C + a . 0 - . D + ei a . Ei b) . C; Lauseen a . Ei A = 0

( . Ei b . C + 0 + ei a . Ei b) . C; Lauseen a . 0 = 0

( . Ei b . C + ei a . Ei b) . C; Lauseen a + 0 = a

-Lla . Ei b . C . C + ei a . Ei b . C; Tuotteen jakautumisella summan suhteen

-Lla . Ei b . C + ei a . Ei b . C; Lauseen a . A = a

Ei b . C (A + ei a) ; Tekijä (ei b . C) yhteisen tekijän kanssa

Ei b . C (1); Lauseen a + ei a = 1

Ei b . C; Nolla sääntölause ja yksikkö 1 . A = a

Viitteet

1. Boolen algebra ja sen J -sovellukset. Eldon Whitesitt. Mannertoimitusyhtiö, 1980.
2. Matematiikka ja tekniikka tietotekniikassa. Christopher J. Van Wyk. Tietotekniikan ja tekniikan instituutti. Kansallinen standardilaitos. Washington, D. C. 20234
3. Tietotekniikan matematiikka. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leightonin matematiikan laitos ja tietotekniikka ja AI -laboratorio, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Abstraktin analyysin elementit. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematiikan laitos. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5.  Johdatus logiikkaan ja deduktiivisten tieteiden metodologiaan. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.