Johdannaisäännöt (esimerkkien kanssa)

Mitkä ovat johdannaiset säännöt?

Se Sääntöjä Ne ovat seuraavia indikaatioita, jotta löydetään todellisen muuttujan funktion F (x) tavallinen johdannainen.

Funktion F (x) tavallinen johdannainen, joka on merkitty nimellä F '(x), tulkitaan mainitun funktion hetkellisenä valuuttakurssina muuttujan x suhteen. Graafisesti johdannainen on tangenttiviivan kaltevuus F (x) -käyrään, laskettu tietyssä pisteessä, jonka koordinaatti on x_jompikumpi, kuten alla olevassa kuvassa esitetään.

Johdannainen f (x): n tangentti viivan kaltevuuteen tietyssä pisteessä. Lähde: Wikimedia anemos/muokattu f. Zapata.

Nyt analyyttisesti johdannainen lasketaan seuraavan rajan kautta:

Joten joka kerta kun jonkin funktion johdannainen vaaditaan, raja on arvioitava osoitetulla tavalla. On kuitenkin olemassa deraatiosääntöjä, jotka muistetaan helposti pienellä käytännöllä ja tallentavat rajan laskemisen työn, mikä joissain tapauksissa on hankala.

Mitkä ovat johdannaiset säännöt?

Seuraavassa esitetyt johdannaiset säännöt saadaan helposti muodollisen johdannaisen määritelmän avulla.

1. Välittömät johdannaiset

Johdettu vakiosta

Jatkuvan k: n johdannainen on 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Esimerkki

f (x) = 5, sitten f '(5) = 0

Johdettu X: stä

F (x) = x: n johdannainen on aina 1, toisin sanoen:

f (x) = x, sitten f '(x) = 1

2. Johdettu lineaarinen funktio

Lineaarisella funktiolla on muoto:

f (x) = kirves

Missä a on todellinen luku.

Sen johdannainen on:

f '(x) = a

• Esimerkki

Olkoon f (x) = 3x, sitten:

f '(x) = 3

3. Johdettu summasta

Jos f (x) on kahden funktion u ja v summa tai vähentäminen, molemmat erotettavissa:

f (x) = u ± V

Niin:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Johdettu siihen liittyvästä toiminnosta

Aiheeseen liittyvä funktio on kahden termin summa:

Voi palvella sinua: yhdistetyt toiminnot

f (x) = ax + b

Missä a ja b ovat todellisia numeroita. Summan summan soveltaminen:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Mutta:

(kirves) '= a (sääntö 2)

(b) '= 0 (sääntö 1)

Siksi:

f '(x) = a

• Esimerkki

F (x) = −8x + 6: n johdannainen on:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Johdettu voimasta

Tapaus 1

Olkoon f (x) muodon f (x) = x potentiaalinen funktioⁿ, niin:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Esimerkki

Kun johdetaan:

f (x) = x³

Tulos:

f '(x) = 3⋅x^3–1 = 3x²

Tapaus 2

Jos funktiossa on muoto f (x) = AXⁿ, Missä A on todellinen luku, se tulee johdannaisesta:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Esimerkki

Johda:

f (x) = 4x⁵

On saatu:

f '(x) = 4 ∙ 5 x^5–1 = 20x⁴

Tapaus 3

Jos eksponentti on murto -osaa, se etenee samalla tavalla kuin se selitettiin tapauksissa 1 ja 2. Tämä tapahtuu, kun muuttuja X löytyy juuren argumentiksi.

• Esimerkki

Ole funktio:

f (x) = 3x^3/2

Johdannainen on:

 Jos haluat kirjoittaa juuren muodossa:

5. Tuotekappale

Tuotesääntö koskee tuotteen muotoisia toimintoja kahden U: n ja V: n toiminnon välillä, molemmat erotettavissa:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Toisin sanoen kahden funktion tuotteen johdannainen on ensimmäisen johdannainen, toisella saamatta, plus ensimmäinen saamatta, kerrottuna toisen johdannaisella.

• Esimerkki

Löydä tuotesäännön ja yllä kuvattujen sääntöjen noudattamisen jälkeen: johdannainen:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Ensimmäinen asia on päättää, kuka u ja v ovat, muistaen, että tekijöiden järjestys ei muuta tuotetta, ne voidaan valita tällä tavalla:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Sitten tuotesääntö nostetaan ja ilmoitetut johdannaiset ratkaistaan ​​yllä kuvattujen sääntöjen mukaan:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Voi palvella sinua: Lineaarinen ohjelmointi: Mihin se on, mallit, rajoitukset, sovellukset

Sinun täytyy:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Korvaus:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Johdannainen on jo valmis, mutta lauseke voi silti olla tekijä:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Tämä tulos voidaan saada myös soveltamalla aikaisemmin jakautuvaa ominaisuutta tuotteeseen (2x+3) (4x²−1) ja sitten käyttämällä sääntöjä 1 - 4. Se jätetään lukijalle.

6. Osoitettua osamäärästä

Ole muodon funktio:

Kun tila v ≠ 0, ja molemmat, u ja v, ovat erotettavissa. Tässä tapauksessa sen johdannainen lasketaan:

• Esimerkki

Löydä johdannainen:

Tätä esimerkkiä sinun on:

• U = x+1
• v = x²

Osamääräyksen suhde johtaa:

Jota varten on tarpeen korvata seuraavat:

• (x+1) '= 1
• (x²) '= 2x
• (x²-A² = x⁴

Ja korvattaessa se on:

Jakautumisominaisuuden soveltaminen numeraattorissa ja termejen vähentämisessä, F '(x): n lauseke on:

Harjoitus olisi voitu ratkaista toisella tavalla, kirjoittamalla f (x) seuraavasti:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

Ja sitten tuotesäännön ja jonkin algebran soveltaminen. Lukija jätetään harjoitukseksi varmistaa, että se saa identtinen tulos.

7. ketjusääntö

Koskee komposiittitoimintoja, lomake:

f = f (u)

Missä u = g (x)

Sen johdannainen suoritetaan seuraavasti:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) tunnetaan nimellä Sisäinen johdannainen. Ketjusäännön soveltaminen on helpompaa kuin miltä se näyttää ensi silmäyksellä, katso tämä esimerkki:

• Esimerkki

Ketjusäännön soveltaminen, löydä johdannainen:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Siksi f (u) = u⁷ Ja sen johdannainen säännön 4 mukaan on:

f '(u) = 7U⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Tämä tulos tallennetaan ja sisäinen johdannainen G (x) lasketaan:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Tässä on tarpeen soveltaa sääntöjä peräkkäin: 3 (funktioiden summan/vähentämisen vuoksi), 4 (voimille) ja 1 (vakion johdannainen).

Se voi palvella sinua: jonoteoria: historia, malli, mihin se on ja esimerkkejä

On saatu:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Viimeinen askel on kertoa tulokset:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

Ja lopuksi uudelleen tekijät uudelleen:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Johdettu trigonometrisistä toiminnoista

Trigonometristen funktioiden johdannaiset ovat:

• Esimerkki

Johda:

H (x) = synti (4x)

U = 4x: n tekeminen ja ketjusäännön soveltaminen saadaan:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Johdettu käänteisistä trigonometrisista toiminnoista

Ne on esitetty seuraavassa taulukossa:

• Esimerkki

Johda:

g (x) = arct tg (-2x)

Pitäen aina mielessä ketjusääntö, U = -2x tehdään ja johdannainen on:

10. Johdettu eksponentiaalisista ja logaritmisista funktioista

Eksponentti funktio

Jos pohja on numero E:

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

Kun pohja on numero A:

f (x) = a^x ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^x

Logaritminen funktio

Kun Neperian logaritmifunktio on johdettu:

f (x) = ln x

Toisen tukikohdan logaritmin tapauksessa:

f (x) = loki_-lla x

• Esimerkki

Johda:

H (x) = x ∙ lnx

yksitoista. Implisiittinen johdannainen

Niitä käytetään, kun y (x): n puhdistuma ei ole välitön, siksi f (x): lle ei ole nimenomaista ilmaisua, kuten edellisissä tapauksissa. Silti on mahdollista löytää johdannainen seuraavassa esimerkissä havainnollistuneella menettelyllä:

• Esimerkki

Johda epäsuorasti seuraava lauseke löytääksesi ja ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Kuten huomaat, sitä ei ole helppo löytää ja riippuen suoraan X: stä, joten pyydetyn johdannaisen löytämiseksi kuvatut säännöt viittaavat tasa -arvon molemmille puolille:

(4x³)+ [11 (x) '+ 11x (ja²) '] - (2y³) '= 0 (summasääntö ja tuotesääntö)

Tavoitteena on selvittää ja ', joka on haettu johdannainen, jota varten ketjusääntöä sovelletaan:

12x² + [11 + 11x ∙ 2YY '] - 6y²ja '= 12x² + 11 + 22xy ∙ ja ' - 6y² ∙ ja '= 0

ja '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0