Moivre -lause

Selitämme, mikä Moivren lause on, esittelemme ja ehdotamme ratkaistaan ​​harjoituksia

Mikä on Moivren lause?

Hän Moivre -lause Sovelleta perusalgebra -prosesseja, kuten voimia ja juurten uuttamista kompleksilukuina. Lauseen totesi tunnettu ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre (1730), joka yhdisti kompleksiset numerot trigonometriaan.

Abraham Moivre teki tämän yhdistyksen rinnan ja Cosenon ilmaisujen kautta. Tämä matemaatikko tuotti eräänlaisen kaavan, jonka kautta se on mahdollista.

Selitys

Moivren lause vahvistaa seuraavan:

Jos sinulla on kompleksi numero napa -muodossa z = r_Ɵ, missä r on kompleksiluku z: n moduuli ja kulmaa ɵ kutsutaan minkä tahansa kompleksilukujen amplitudiksi tai argumentille, jolla on 0 ≤ ɵ ≤ 2π, sen n-tämän tehon laskemiseksi, se ei ole tarpeen moninkertaistaa se itse n- tweces; Eli seuraavaa tuotetta ei ole välttämätöntä:

Z -zⁿ = z _* z -z _* z -z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r -_{Ɵ *} r -_{Ɵ *… *} r -_Ɵ   N-you.

Kontaarin osalta lause sanoo, että kirjoitettaessa z on trigonometrisessä muodossaan laskemaan ainoan tehon, etenee seuraavasti:

Kyllä z = r (cos ɵ + i _* synti ɵ) sitten zⁿ = rⁿ (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

Esimerkiksi, jos n = 2, niin z² = r²[cos 2 (ɵ) + i Sen 2 (ɵ)]. Jos joudut n = 3, niin z³ = z² _* z -z. Sitä paitsi:

z -z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i Sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i Sen 3 (ɵ)].

Tällä tavalla rintojen ja kosinin trigonometriset syyt voidaan saada kulman monikerroksista, kunhan kulman trigonometriset syyt tunnetaan.

Samalla tavalla sitä voidaan käyttää tarkempien ja vähemmän hämmentävien lausekkeiden löytämiseen kompleksisen numeron z: n n -tämä juuri, niin että zⁿ = 1.

Moivren lauseen osoittamiseksi käytetään matemaattista induktioperiaatetta: jos kokonaisluku “A” on “P” -ominaisuus, ja jos jollekin kokonaislukulle “N” on suurempi kuin “A”, jolla on omaisuus “p”. + 1: llä on myös P -ominaisuus, joten kaikilla kokonaismäärillä tai yhtä suurempilla numeroilla on "P" -ominaisuus.

Moivren lauseen osoittaminen

Tällä tavalla lauseen osoittaminen tehdään seuraavilla vaiheilla:

Induktiivinen pohja

Ensin se tarkistetaan n = 1.

Voi palvella sinua: Curtory: Määritelmä, tyypit, kaavat, mitä se on esimerkiksi

Kuten z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* SEN (1_* Ɵ)], sen on n = 1 lause täyttyy.

Induktiivinen hypoteesi

Kaavan oletetaan olevan totta positiiviselle kokonaisluvulle, ts. N = k.

z -z^{k -k -} = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^{k -k -}  = r^{k -k -} (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Todentaminen

On todistettu, että se on totta n = k + 1: lle.

Kuten z^K+1= z^{k -k -} _* Z, sitten z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^K+1 = r^{k -k -} (Cos kɵ + i _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* Senɵ).

Sitten lausekkeet moninkertaistuvat:

z -z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (i _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Hetkeksi tekijä r jätetään huomiotta^K+1,  Ja saat yleisen tekijän I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Kun² = -1, korvaamme sen lausekkeessa ja saamme:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Nyt todellinen ja kuvitteellinen osa on tilattu:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Ilmaisun yksinkertaistamiseksi sovelletaan kosinin ja sinuksen kulmien trigonometrisiä identiteettejä, jotka ovat:

cos (a+b) = cos a _* cos b - Sen a _* synti b.

synti (a+b) = sen a a _* cos b -cos a _* cos b.

Tässä tapauksessa muuttujat ovat kulmat ɵ ja kɵ. Trigonometrisen identiteettien soveltaminen, sinulla on:

cos kɵ _* cosɵ -  Sin Kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

Sin Kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

Tällä tavalla ilmaus on:

z -z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* synti (kɵ + ɵ)))

z -z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* synti [(k +1) ɵ]).

Siten voitaisiin osoittaa, että tulos on totta n = k+1: lle. Matemaattisen induktion periaatteessa päätellään, että tulos on totta kaikille positiivisille kokonaislukuille; eli n ≥ 1.

Negatiivinen kokonaisuus

Moivren lauseen sovelletaan myös, kun n ≤ 0. Tarkastellaan negatiivista kokonaista "n"; Sitten "n" voidaan kirjoittaa nimellä "-m", eli n = -m, "m" positiivinen kokonaisluku. Siksi:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-m

Eksponentin "M" saamiseksi positiivisella tavalla ilmaisu on kirjoitettu päinvastaisesti:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^m

Voi palvella sinua: NULL Kulma: Määritelmä ja ominaisuudet, esimerkit, harjoitukset

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* sin Mɵ)

Nyt käytetään, että jos z = a+b*i on kompleksi numero, niin 1 ÷ z = a-b*i. Siksi:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Käyttämällä sitä cos (x) = cos (-x) ja että -sen (x) = sen (-x), sen on:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* synti (mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* synti (nɵ).

Tällä tavalla voidaan sanoa, että lause koskee kaikkia "n" -arvoja.

Ratkaisut

Positiivinen tehonlaskenta

Yksi sen polaarisessa muodossa olevista kompleksilukuista on kertominen kahden välillä; Tällöin moduulit moninkertaistuvat ja argumentit lisätään.

Jos sinulla on kaksi kompleksinumeroa z₁ ja z₂ Ja haluat laskea (z₁*z₂-A², Jatka sitten seuraavasti:

z -z₁z -z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Yllyttää _* ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Yllyttää _* ɵ₂)

Jakeluominaisuutta käytetään:

z -z₁z -z₂ = r₁ r -₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Yllyttää _* cos ɵ_1* Yllyttää _* ɵ₂ + Yllyttää _* ɵ_1* cos ɵ₂ + Yllyttää²_* ɵ_1* ɵ₂-A.

Ne on ryhmitelty, piirtäen termin "I" yleisenä ilmaisun tekijänä:

z -z₁z -z₂ = r₁ r -₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Minä (cos ɵ_1* ɵ₂ + ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* ɵ_1* ɵ₂-

Kun² = -1, se korvataan lausekkeessa:

z -z₁z -z₂ = r₁ r -₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Minä (cos ɵ_1* ɵ₂ + ɵ_1* cos ɵ₂) - Sen ɵ_1* ɵ₂-

Todelliset termit, joilla on todellinen ja kuvitteellinen kuvitteellisena, ryhmittyvät uudelleen:

z -z₁z -z₂ = r₁ r -₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - ɵ_1* ɵ₂) + i (cos ɵ_1* ɵ₂ + ɵ_1* cos ɵ₂)

Lopuksi sovelletaan trigonometrisiä ominaisuuksia:

z -z₁z -z₂ = r₁ r -₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂).

Tiivistettynä:

(z₁*z₂-A²= (r₁ r -₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)))²

= R₁²r -₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i syn 2*(ɵ₁ + Ɵ₂).

Harjoitus 1

Kirjoita kompleksinumero polaarisessa muodossa, jos z = - 2 -2i. Laske sitten z käyttämällä Moivren lausetta z⁴.

Ratkaisu

Kompleksinumero Z = -2 -2I ilmaistaan ​​suorakulmaisessa muodossa Z = A +BI, missä:

A = -2.

B = -2.

Tietäen, että polaarinen muoto on z = r (cos ɵ + i I _* Sen ɵ), on välttämätöntä määrittää moduulin R ”ja argumentin arvo“ ɵ ”. Kuten r = √ (²+b²), annetut arvot korvataan:

Se voi palvella sinua: trigonometriset toiminnot: Basic, Cartesian tasossa, esimerkkejä, liikunta

R = √ (²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Sitten ”ɵ” arvon määrittämiseksi tämän suorakulmaista muotoa sovelletaan, jota kaava antaa:

Joten ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Kuten (ɵ) = 1 ja sen on<0, entonces se tiene que:

Ɵ = Arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Kuten jo saavutetaan "r" ja "ɵ" -arvolla, kompleksinumero Z = -2 -2I voidaan ilmaista arvot korvaavassa polaarisessa muodossa:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* synti (5π/4)).

Nyt Moivren lause käytetään Z: n laskemiseen⁴-

z -z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* synti (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* synti (5π)).

Harjoitus 2

Löydä sen polaarisessa muodossa ilmaisemisen kompleksien numeroiden tuote:

Z1 = 4 (cos 50^jompikumpi + Yllyttää_* SEN 50^jompikumpi-A

Z2 = 7 (cos 100^jompikumpi + Yllyttää_* SEN 100^jompikumpi-A.

Laske sitten (Z1*Z2) ².

Ratkaisu

Ensin muodostetaan annettujen numeroiden tuote:

z -z₁ z -z₂ = [4 (cos 50^jompikumpi + Yllyttää_* SEN 50^jompikumpi)] * [7 (cos 100^jompikumpi + Yllyttää_* SEN 100^jompikumpi)

Sitten moduulit moninkertaistuvat toistensa kanssa, ja argumentit lisätään:

z -z₁ z -z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^jompikumpi + 100^jompikumpi) + i_* SEN (50^jompikumpi + 100^jompikumpi)

Lauseke yksinkertaistetaan:

z -z₁ z -z₂ = 28 _* (COS 150^jompikumpi + (Yo_* SEN 150^jompikumpi-A.

Lopuksi Moivren lause pätee:

(Z1*Z2) ² = (28 _* (COS 150^jompikumpi + (Yo_* SEN 150^jompikumpi)) ² = 784 (COS 300^jompikumpi + (Yo_* SEN 300^jompikumpi-A.

Negatiivisten voimien laskeminen

Jakaa kaksi kompleksia z₁ ja z₂ Polaarisessa muodossaan moduuli on jaettu ja argumentit vähennetään. Siten osamäärä on z₁ ÷ Z₂ Ja se ilmaistaan ​​seuraavasti:

z -z₁ ÷ Z₂ = R1/R2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂))).

Kuten edellisessä tapauksessa, jos haluat laskea (z1 ÷ z2) ³ jako on ensin vaikutukset ja sitten käytetään Moivre -lauseen.

Harjoitus 3

DICES:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Laske (z1 ÷ z2) ³.

Ratkaisu

Edellä kuvattujen vaiheiden seurauksena voidaan päätellä, että:

(Z1 ÷ Z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Viitteet

1. Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson -koulutus.
2. Croucher, m. (S.F.-A. Moivren lause TRIG -identiteetteistä. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematiikan tietosanakirja.
4. Max Peters, W. Lens. (1972). Algebra ja trigonometria.
5. Pérez, c. D -d. (2010). Pearson -koulutus.
6. Stanley, G. (S.F.-A. Lineaarialgebra. Holkki.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pearson -koulutus.