Binomial jakautumiskonsepti, yhtälö, ominaisuudet, esimerkit

Se binomijakauma Se on todennäköisyysjakauma, jolla tapahtumien esiintymisen todennäköisyys lasketaan, edellyttäen, että niitä esiintyy kahdessa muodolla: menestys tai epäonnistuminen.

Nämä uskonnot (menestys tai epäonnistuminen) ovat täysin mielivaltaisia, koska ne eivät välttämättä tarkoita hyviä tai huonoja asioita. Tämän artikkelin aikana ilmoitamme binomijakauman matemaattisen muodon ja kunkin termin merkitys selitetään yksityiskohtaisesti.

Kuvio 1. Noppaa käynnistäminen on ilmiö, joka voidaan mallintaa binomijakaumalla. Lähde: Pixabay.

[TOC]

Yhtälö

 Yhtälö on seuraava:

X = 0, 1, 2, 3 .. .n, missä:

- P (x) on todennäköisyys olla tarkalleen x menestykset n Yritykset tai kokeet.

- x Muuttuja kuvaa kiinnostuksen kohteena olevaa ilmiötä, joka vastaa menestysten lukumäärää.

- n Yritysten lukumäärä

- p Se on menestyksen todennäköisyys yhdellä yrityksellä

- Q - Siksi se on epäonnistumisen todennäköisyys, siksi Q = 1 - P

Ihailun symboli "!”Sitä käytetään tekijän merkinnässä, niin että:

0 -! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Ja niin edelleen.

Konsepti

Binomiaalinen jakauma on erittäin tarkoituksenmukainen kuvaamaan tilanteita, joissa tapahtuma tapahtuu tai ei tapahdu. Jos se tapahtuu, se on menestys ja jos ei, se on epäonnistuminen. Lisäksi menestyksen todennäköisyyden on aina oltava vakio.

On ilmiöitä, jotka sopivat näihin olosuhteisiin, esimerkiksi valuutan lanseeraus. Tässä tapauksessa voimme sanoa, että "menestys" on saada kasvot. Todennäköisyys on ½ eikä muutu riippumatta siitä, kuinka monta kertaa valuutta käynnistetään.

Rehellisen noppan lanseeraus on toinen hyvä esimerkki, samoin kuin luokitella hyviksi kappaleiksi ja viallisiksi kappaleiksi tietyn tuotannon ja saa punaisen mustan sijasta.

Voi palvella sinua: Yhtälöjärjestelmä: ratkaisumenetelmät, esimerkit, harjoitukset

Ominaisuudet

Voimme tiivistää binomijakauman ominaisuudet seuraavasti:

- Mikä tahansa tapahtuma tai havainto, uutetaan äärettömästä populaatiosta ilman korvaamista tai äärellistä väestöä korvaavalla.

- Otetaan huomioon vain kaksi vaihtoehtoa, toisiaan poissulkevia: menestys tai epäonnistuminen, kuten alussa selitetään.

- Menestyksen todennäköisyyden on oltava vakio kaikissa tehdyissä havainnoissa.

- Minkä tahansa tapahtuman tulos on riippumaton muusta tapahtumasta.

- Binomijakauman keskiarvo on n.p

- Vakiopoikkeama on:

Aikaisemmat esimerkit täyttävät nämä ehdot, vaikka sovellettavia rajoituksia on tiettyjä.

Sovellusesimerkki

Otetaan yksinkertainen tapahtuma, joka voi olla saada 2 kasvot 5 käynnistämällä rehellinen noppa 3 kertaa. Mitkä ovat todennäköisyydet, että 3 käynnistyksessä 2 kasvot saadaan?

On olemassa useita tapoja saavuttaa, esimerkiksi:

- Kaksi ensimmäistä julkaisua ovat 5 ja viimeinen ei.

- Ensimmäinen ja viimeinen ovat 5, mutta ei väliainetta.

- Kaksi viimeistä laukaisua ovat 5 ja ensimmäinen ei.

Otetaan esimerkki ensimmäinen kuvattu sekvenssi ja laske sen esiintymisen todennäköisyys. Viiden kasvojen saamisen todennäköisyys ensimmäisessä laukaisussa on 1/6, ja myös toisessa, koska ne ovat riippumattomia tapahtumia.

Todennäköisyys saada 5 5: tä viimeisessä laukaisussa on 1 - 1/6 = 5/6. Siksi todennäköisyys, että tämä sekvenssi tulee esiin, on todennäköisyyksien tuote:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

Entä kaksi muuta sekvenssiä? Heillä on identtinen todennäköisyys: 0.023.

Ja koska meillä on yhteensä 3 onnistunutta sekvenssiä, kokonaistodennäköisyys on:

P (2 pintaa 5 3 laukaisuun) = tietyn sekvenssin mahdollisten sekvenssien lukumäärä = 3 x 0.023 = 0.069.

Kokeilemme nyt binomia, jossa se on tehty:

Voi palvella sinua: Mackinder Box

x = 2 (hanki 2 puolta 5: stä 3: sta laukaisusta on menestys)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Ratkaisut

On olemassa useita tapoja ratkaista binomiaaliset jakeluharjoitukset. Kuten olemme nähneet, yksinkertaisin voidaan ratkaista kertomalla kuinka monta menestyvää päämäärää on ja sitten kertoa vastaavilla todennäköisyyksillä.

Kun vaihtoehtoja on monia, numerot kasvavat kuitenkin ja on parempi käyttää kaavaa.

Ja jos luvut ovat vielä korkeammat, binomijakauman pojat ovat. Tällä hetkellä ne ovat kuitenkin vanhentuneita monenlaisten laskurin hyväksi, jotka helpottavat laskelmaa.

Harjoitus 1

Parilla on lapsia, joiden todennäköisyys on 0,25, on tyyppinen verta tai. Pari on yhteensä 5 lasta. Vastaus: a) sopiiko tämä tilanne binomiaaliseen jakautumiseen?, b) Mikä on todennäköisyys, että tarkalleen 2 on tyyppiä tai?

Ratkaisu

a) Binomiaalinen jakauma on mukautettu, koska se täyttää edellisissä kohdissa asetetut ehdot. Vaihtoehtoja on kaksi: tyypin tai "menestys" veren, vaikka sillä ei ole "epäonnistumista", ja kaikki havainnot ovat riippumattomia.

b) Sinulla on binomijakauma:

Jossa seuraavat arvot korvataan:

x = 2 (hanki 2 lasta, joilla on veri O -veri)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Esimerkki 2

Yliopisto toteaa, että 80% yliopiston koripallojoukkueessa kuuluvista opiskelijoista on valmistunut. Tutkimuksessa tarkastellaan 20 opiskelijan akateemista ennätystä, joka kuuluu mainittuun koripallojoukkueeseen, joka ilmoittautui yliopistoon kauan sitten.

Näistä 20 opiskelijasta 11 päätti kilpailun ja 9 lähti opinnoista.

Kuva 2. Lähes kaikki yliopistojoukkueessa pelaavat opiskelijat onnistuvat valmistumaan. Lähde: Pixabay.

Jos yliopiston lausunto on totta, koripalloa pelaavien opiskelijoiden lukumäärällä, jotka onnistuvat valmistumaan välillä 20, pitäisi olla binomijakelu N = 20 ja P = 0,8. Mikä on todennäköisyys, että tarkalleen 11 20 pelaajasta on valmistunut?

Voi palvella sinua: kehän kulmat: tyypit, ominaisuudet, ratkaistut harjoitukset

Ratkaisu

Binomiaalisessa jakautumisessa:

Seuraavat arvot on vaihdettava:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Esimerkki 3

Tutkijat suorittivat tutkimuksen sen selvittämiseksi, oliko erityisohjelmien ja lääketieteen opiskelijoiden kautta hyväksyttyjen lääketieteen opiskelijoiden valmistumisasteiden merkittäviä eroja säännöllisten pääsykriteerien kautta, jotka ovat hyväksytty.

Todettiin, että valmistumisaste oli 94% opiskelijoille, jotka hyväksyttiin erityisohjelmien kautta (perustuen tietoihin American Medical Associationin lehti-A.

Jos 10 erityisohjelmien opiskelijoita valitaan satunnaisesti, etsi todennäköisyys, että vähintään 9 heistä valmistui.

b) Olisiko se epätavallista satunnaisesti valita 10 opiskelijaa erityisohjelmista ja hankkia, että vain 7 heistä on valmistunut?

Ratkaisu

Todennäköisyys, että opiskelija hyväksyi erityisohjelman tutkinnon suorittaneet, on 94/100 = 0.94. Ne valitaan N = 10 Erityisohjelmien opiskelijat ja haluat selvittää todennäköisyyden, että ainakin 9 heistä valmistuu.

Seuraavat arvot korvataan binomijakaumassa:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Tämä on todennäköisyys, että tarkalleen 9 valmistuu, mutta he voivat myös valmistua tarkalleen 10:

 P (vähintään 9 tutkinnon suorittanutta) = p (9) + p (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

b)
Kyllä, se on epätavallista, koska saatu todennäköisyys on melko pieni.

Viitteet

1. Berenson, m. 1985. Hallinnon ja taloustieteen tilastot. Inter -American S.-Lla.
2. Matematiikka. Binomijakauma. Palautettu: on.Matematiikka.com
3. Mendenhall, W. 1981. Hallinnon ja taloustieteen tilastot. Kolmas. painos. Iberoamerica -toimitusryhmä.
4. Moore, D. 2005. Perustilastot. Toinen. Painos.
5. Triola, m. 2012. Perustilastot. 11. päivä. Ed. Pearson -koulutus.
6. Wikipedia. Binomijakauma. Palautettu: on.Wikipedia.org