Yleinen kulttuuri ja yhteiskunta

Eksponentiaalinen jakauma

1336
147
Louis Moen

Selitämme, mikä on eksponentiaalinen jakauma, sen ominaisuudet, kaavat, esimerkit ja panet ratkaisut harjoitukset

Kaavio eksponentiaalisen jakauman tiheysfunktiosta Lambda -parametrin kolmelle arvolle. Lähde: Wikimedia Commons.

Mikä on eksponentiaalinen jakauma?

Se eksponentiaalinen jakauma Se on todennäköisyysmalli jatkuville satunnaismuuttujille. Tämä tarkoittaa, että sen kautta voit tietää muuttujan tietyn arvon todennäköisyyden, joten se on todennäköisyysjakauma.

Jakauman saamiseksi se alkaa a tiheysfunktio, jolla on parametrin eksponentiaalinen muoto λ> 0:

$f(x)=\begincases \lambda e^-\lambda x& \text si x>0 - \\ 0 & \ Teksti Joo x \ leq 0 - \ End tapaukset$

Tiheysfunktio sellaisenaan ei salli todennäköisyyden laskemista, mutta kun se on määritetty f (x), jakautumisfunktio F (x), jolla todennäköisyydet saadaan, saadaan integroimalla f (x). Esimerkiksi todennäköisyys p, että satunnaismuuttuja ottaa arvot välillä 0 ja X, on:

$F(x)=P[x\leq x]=\int_0^xf(x)dx$

Integraation suorittaminen, joka on hyvin yksinkertainen, koska eksponentiaalisen integraali on sama eksponentiaalinen, lukuun ottamatta väitteitä, jotka seuraavat väitteitä, se saadaan:

$F(x)=\int_0^x\lambda e^-\lambda xdx=\lambda \left (-\frac1\lambda \right )\left [ e^-\lambda x \right ]_0^x=-\left (e^-\lambda x-e^0 \right )=1-e^-\lambda x$

Eksponentiaalista jakautumista käytetään laajasti tapahtuman todennäköisyyden määrittämiseen tietyn odotusajan jälkeen, kuten aika, joka tapahtuu sairaalan syntyessä ennen potilaan saapumista.

Usein tapahtumat viittaavat sähköisen, elektronisen ja muun tyyppisen vikaantumiseen tai hajoamiseen. Tässä tapauksessa eksponentiaalinen jakauma auttaa arvioimaan komponentin epäonnistumisen ajan ja myös korjausten välisen ajan. Tätä kutsutaan luotettavuusteoriaksi.

Eksponentiaalisen jakautumisen ominaisuudet

Jotkut eksponentiaalisen jakauman tiheysfunktion F (x) merkittävimmistä ominaisuuksista ovat seuraavat:

f (x) on positiivinen.
Käyrän alla oleva alue y = f (x) = λe^Λ^x Se on aina yhtä suuri kuin 1, koska muuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyden summan on oltava 1. Tämä on ehto, jonka tiheysfunktiot täyttävät. Tämä alue lasketaan integraalin kautta:

Voi palvella sinua: Anuma

$\int_-\infty ^\infty f(x)dx=\int_-\infty ^\infty \lambda e^-\lambda xdx=1$

Eksponentiaalisen jakelumuistin puute

Eksponentiaalisen jakautumisen merkittävin ominaisuus on sen muistin puute. Oletetaan esimerkiksi, että kulunut aika on mallinnettu tällä jakaumalla, kunnes elementin vika tapahtuu.

No, muistin puute viittaa tietämiseen, että elementti työskenteli "S" -selviytymisajalla, ei muokkaa todennäköisyyttä, että elementti jatkaa tiettyyn lisäaikaan "t".

Toisin sanoen todennäköisyys, että elementti epäonnistuu täältä tiettyyn aikaan (esimerkiksi 1 minuutti, 1 tunti) ei riipu siitä, että hän on toistaiseksi toiminut hyvin.

Matemaattisesti se lasketaan riippumattomien tapahtumien todennäköisyyden määritelmän perusteella:

$P[x\geq s+t/x\geq s]=\fracP[x\geq s+t]P[x\geq s]=\frac1-F(s+t)1-F(s)=\frac1- [1-e^-\lambda (s+t) ]1- [1-e^-\lambda s ]= \beginmatrix \\ \endmatrix$

$=e^-\lambda t$

Siksi todennäköisyys ei riipu s tai eloonjäämisajasta.

Kaavat

1.- Eksponentiaalisen jakauman tiheysfunktio on:

$f(x)=\begincases \lambda e^-\lambda x& \text si x>0 - \\ 0 & \ Teksti Joo x \ leq 0 - \ End tapaukset$

Missä λ on jakaumaparametri.

2.- Kuten yllä on kuvattu, todennäköisyyksien jakautuminen itsessään on merkitty f (x): ksi ja erilaiset todennäköisyydet saadaan integroimalla tiheysfunktio:

$F(x)=\begincases 0 & \text si x\leq 0 \\ 1-e^-\lambda x& \text si x>0 - \ End tapaukset$

3.- Edellä esitetystä seuraa, että todennäköisyys, että muuttuja vie arvot pienemmät tai yhtä suuret kuin “x” on p [x≤x] = 1 −e^Λ^x.

4.- Käyrän y = f (x) alla oleva alue, joka sisältyy A: n ja B: n välillä, mahdollistaa todennäköisyyden, että muuttuja on aikavälillä [a, b]. Tämä alue on:

P [a ≤ x ≤ b] = f (b) - f (a)

5.- P [x ≥ A] arvo on 1 - f (a) = 1 - (1 - e^Λ^x) = e^Λ^x

Eksponentiaalisen jakauman odotettu arvo

Eksponentiaalisen jakauman toivo tai odotettu arvo E (x) on arvo, jonka odotetaan tapahtuvan useammin. Se lasketaan integraalista:

Voi palvella sinua: Tietojen rekisteröintitekniikat

$E(x)=\int_0^\infty xf(x)dx$ Joka on helposti ratkaistu osien integrointimenetelmällä. Tuloksena on:

E (x) = 1/λ

Eksponentiaalisen jakauman varianssi

Varianssin laskemiseksi integraali on määritettävä:

$Var(x)=\int_0^\infty x^2f(x)dx$

Joka on myös ratkaistu osien integraatiomenetelmällä, saadaksesi:

Var (x) = 1/λ²

Eksponentiaalisen jakauman erityisyys on, että standardipoikkeama S (x), joka on määritelty varianssin neliöjuuriksi, on:

S (x) = √var (x) = √ (1/λ²) = 1/λ

Eli standardipoikkeama on yhtä suuri kuin jakautumisen toivo.

Esimerkkejä eksponentiaalisesta jakautumisesta

Hiilinäytteiden datantointi 14

Eksponentiaalista jakautumista käytetään radioaktiivisen hiukkasen hajottamiseen tarvittavan ajan määrittämiseen. Näitä aikoja käytetään tähän mennessä fossiilisia näytteitä radiohiiliöllä.

Postin tarkistamiseen tarvitaan aikaa

Voit mallintaa aikaa, jonka käyttäjät vievät sähköpostinsa tarkistamiseen, kun ilmoitus on vastaanotettu eksponentiaalisen jakelun kautta. Oletetaan, että jakautumisparametri on λ = 0.2, sitten todennäköisyys, että henkilö kestää vähemmän kuin minuutin hänen sähköpostinsa tarkistamiseen, on:

$P[x\leq 1]=\int_0^1f(x)dx=\int_0^10.2e^-0.2xdx$

Tämä integraali ratkaistiin alussa, se on jäljellä vain ratkaisun numeeristen arvojen korvaamiseksi ja lopputulos: lopullinen tulos:

P [x ≤ 1] = 1 --e^-^{0 -.2}^×¹ = 1− e^-^{0 -.2} = 1− 0.819 = 0.181

Se voidaan myös korvata suoraan edellä annetulla F (x) -funktiolla F (1) saamiseksi.

Harjoitukset

Harjoitus 1

Löydä todennäköisyys, että henkilö myöhemmin tunti tarkistaa sähköpostinsa, jos todennäköisyysjakauma on eksponentiaalinen, parametrilla λ = 0.2.

Ratkaisu

P [x ≥ 60] on laskettava, koska 1 tunti vastaa 60 minuuttia ja todennäköisyys, että henkilöä vähintään 60 minuutin lopulla postitse pyydetään. Todennäköisyys lasketaan samalla integraalilla, joka on esitetty alussa, vain integraatiorajojen muuttaminen:

Voi palvella sinua: Rapa Nui: Historia, ominaisuudet, kulttuuri, perinteet

$P[x\geq 60]=\int_60^\infty 0.2e^-0.2xdx=-\left ( -e^-0.2\times 60 \right )=0.000006144$

Saatu arvo on pieni, joten on hyvin epätodennäköistä, että ihmisen sähköpostin tarkistaminen vie yli tunnin.

Harjoitus 2

Sähkölamppuilla on yleensä rajallinen kesto, lukuun ottamatta kuuluisa paloaseman lamppu Livermoressa, Kaliforniassa, joka ei ole koskaan epäonnistunut siitä lähtien, kun se oli ensimmäistä kertaa, vuonna 1901.

Oletetaan, että nykyisen lampun kesto seuraa eksponentiaalista jakaumaa, odotettavissa oleva arvo 8 kuukautta. Laskea:

a) Mikä on todennäköisyys, että lamppu kestää 5–14 kuukautta?

b) Todennäköisyys, että lamppu kestää yli 25 kuukautta, tietäen, että sillä on yli 11 kuukautta toiminnassa.

Liittää jhk

Ensimmäinen asia on löytää λ -arvo jakauman E (x) = 8 kuukauden odotetun arvon kautta. Edellisessä osassa sanottuneena odotettu arvo on λ -parametrin käänteinen, siksi:

E (x) = 1 /λ → λ = 1 /e (x) = 1/8 = 0.125

Sitten pyydetty todennäköisyys lasketaan alussa annetun integraalin avulla, mutta muuttamalla kätevästi integraatiorajoja:

Sitten se korvataan edellisessä osassa annetussa f (x) -funktiossa seuraavasti:

P [5 ≤ x ≤ 14] = F (14) - F (5) = [1 - E^{-(0.125 × 14)}] - [1 - E^{-(0.125 × 5)}] = 0.36

Ratkaisu b

Vastaamaan tähän kysymykseen muistin puutteen ominaisuus käytetään edellä. Kuten tiedetään, että se on jo kestänyt yli 11 kuukautta, sitten:

S = 11 kuukautta

Lisäaika vähintään 25 kuukauteen on:

T = 14 kuukautta

P [x ≥ S + t│t ≥ s] = p [x ≥ 11 + 14│t ≥ 11] = e^{−0.125 × 14}= 0.174