Riippumattomat tapahtumien esittely, esimerkit, harjoitukset

Kaksi Tapahtumat ovat riippumattomia, Kun todennäköisyys, että toinen heistä tapahtuu.

Tämä seikka on aina annettu, että tapahtuman 1 tuloksen tuottama prosessi ei muuta millään tavalla tapahtuman 2 mahdollisten tulosten todennäköisyyttä. Mutta jos näin ei ole, sanotaan, että tapahtumat ovat riippuvaisia.

Kuvio 1. Värillisiä marmoreita käytetään usein selittämään riippumattomien tapahtumien todennäköisyyttä. Lähde: Pixabay.

Itsenäisten tapahtumien tilanne on seuraava: Oletetaan, että kaksi kuuden puolen noppaa heitetään, yksi sininen ja toinen vaaleanpunainen. Sinisen noppan 1 todennäköisyys on riippumaton todennäköisyydestä, että 1 -tai ei tule ulos - vaaleanpunaisessa noppassa.

Toinen tapaus kahdesta itsenäisestä tapahtumasta on kolikko käynnistää kahdesti peräkkäin. Ensimmäisen laukaisun tulos ei riipu toisen ja päinvastoin.

[TOC]

Kahden itsenäisen tapahtuman osoittaminen

Varmistaaksemme, että kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, määrittelemme yhden tapahtuman ehdollisen todennäköisyyden käsitteen suhteessa toiseen. Tätä varten on välttämätöntä erottaa yksinoikeudet ja osallistavat tapahtumat:

Kaksi tapahtumaa ovat yksinoikeudella, jos mahdollista tapahtuman A arvoja tai elementtejä, ei ole mitään yhteistä tapahtuman B arvojen tai elementtien kanssa.

Siksi kahdessa yksinoikeudella tapahtumassa A: n risteys B: n kanssa on tyhjä:

Yksinomaiset tapahtumat: a∩b = Ø

Päinvastoin, jos tapahtumat ovat osallistavia, voi tapahtua, että tapahtuman A tulos on samaan aikaan myös toisen B: n tapahtumien, jotka ovat A ja B erilaisia ​​tapahtumia. Tässä tapauksessa:

Osallistavat tapahtumat: A∩B ≠ Ø

Tämä saa meidät määrittelemään kahden osallistavan tapahtuman ehdollisen todennäköisyyden, toisin sanoen tapahtuman A todennäköisyys, edellyttäen, että tapahtuma B tapahtuu:

P (a¦b) = p (a∩b)/p (b)

Siksi ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys, joka tapahtuu ja B jaettuna todennäköisyydellä, joka tapahtuu b. Todennäköisyys, joka perustuu:

P (b¦a) = p (a∩b)/p (a (a)

Kriteerit tietää, ovatko kaksi tapahtumaa itsenäistä

Seuraavaksi annamme kolme kriteeriä tietää, ovatko kaksi tapahtumaa itsenäistä. Riittää, että yksi kolmesta toteutuu, niin että tapahtumien riippumattomuus osoitetaan.

1.- Jos todennäköisyys, joka tapahtuu niin kauan kuin B on yhtä suuri kuin A: n todennäköisyys, nämä ovat riippumattomia tapahtumia:

Se voi palvella sinua: Algebra -lukon ominaisuus: esittely, esimerkit

P (a¦b) = p (a) => a on riippumaton B: stä

2.- Jos B: n tapahtuva todennäköisyys on yhtä suuri kuin B: n todennäköisyys, heillä on riippumattomia tapahtumia:

P (b¦a) = p (b) => b on riippumaton a

3.- Jos todennäköisyys, joka tapahtuu ja B, on yhtä suuri kuin todennäköisyys, joka tapahtuu todennäköisyydelle, joka tapahtuu B, nämä ovat riippumattomia tapahtumia. Myös vastavuoroinen on totta.

P (a∩b) = p (a) p (b) a ja b ovat riippumattomia tapahtumia.

Esimerkkejä riippumattomista tapahtumista

Kahden eri toimittajan tuottamia kumpohjia verrataan. Kunkin valmistajan näytteitä tehdään useita kokeita, joista ne päätetään, ovatko ne eritelmien sisällä vai eivät. 

Kuva 2. Erilaisia ​​kumipohjia. Lähde: Pixabay.

Tuloksena oleva yhteenveto 252 näytteestä on seuraava:

Valmistaja 1; 160 täyttävät tekniset tiedot; 8 Älä täytä eritelmiä.

Valmistaja 2; 80 täyttävät tekniset tiedot; 4 Älä täytä eritelmiä.

Tapahtuma A: "Näyte on valmistajalta 1".

Tapahtuma B: "Että näyte täyttää tekniset tiedot".

On toivottavaa tietää, ovatko nämä tapahtumat A ja B tai eivät ole riippumattomia, joista sovelletaan yhtä edellisessä osassa mainitusta kolmesta kriteeristä.

Kriteerit: p (bped) = p (b) => b on riippumaton a

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Johtopäätös: Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia.

Oletetaan, että tapahtuma C: "Että show tulee valmistajalta 2"

Onko se tapahtuma B tapahtumasta C?

Käytämme yhtä kriteereistä.

Kriteerit: p (b¦c) = p (b) => b on riippumaton C: stä

P (B¦C) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = p (b)

Siksi käytettävissä olevien tietojen mukaan todennäköisyys, että satunnaisesti valittu kumipohja täyttää eritelmät, on riippumaton valmistajasta. 

Muuta riippumaton tapahtuma riippuvaiseksi

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä erottaaksesi tapahtumat huollettavia E riippumaton. 

Meillä on laukku, jossa on kaksi valkoista suklaata ja kaksi mustaa palloa. Valkoisen tai mustan pallon saamisen todennäköisyys on sama ensimmäisessä yrityksessä.

Oletetaan, että tulos oli valkoinen pallo. Jos uutettu pallo täydennetään pussissa, alkuperäinen tilanne toistetaan: kaksi valkoista palloa ja kaksi mustaa palloa.

Joten toisessa tapahtumassa tai poiminnassa mahdollisuudet viedä valkoinen pallo tai musta pallo ovat identtisiä ensimmäistä kertaa. Siksi se on riippumattomia tapahtumia.

Mutta jos valkoista palloa ei täydennetä ensimmäisessä tapahtumassa, koska olemme syöneet sitä, toisessa uutteessa on suurempia mahdollisuuksia saada musta pallo. Todennäköisyys, että toisessa uuttossa saadaan jälleen valkoinen, eroaa ensimmäisen tapahtuman tapahtumasta ja että edellisellä tuloksella on ehdollinen.

Voi palvella sinua: Scaleno -kolmio

Harjoitukset

- Harjoitus 1

Laatikossa laitamme 10 marmoria kuvaan 1, joista 2 on vihreää, 4 sinistä ja 4 valkoista. He valitsevat kaksi satunnaista marmoria, yksi ja yksi jälkeen. Sitä pyydetään löytämään
Todennäköisyys, että mikään niistä ei ole sininen, seuraavissa olosuhteissa:

a) Vaihtamisella, toisin sanoen paluu laatikkoon ensimmäinen marmori ennen toista valintaa. Ilmoita ovatko ne riippumattomia vai riippuvaisia ​​tapahtumia.

b) ilman korvaamista, niin että ensimmäinen uutettu marmori on poissa laatikosta toisen valinnan tekohetkellä. Samoin huomauta, ovatko ne riippuvaisia ​​tai riippumattomia tapahtumia.

Liittää jhk

Laskemme todennäköisyyden, että ensimmäinen uutettu marmori ei ole sininen, mikä on 1 vähemmän todennäköisyys, että se on sininen p (a) tai suoraan, että se ei ole sininen, koska se tuli vihreäksi tai valkoiseksi:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (ei sinistä) = 1 - (2/5) = 3/5

O No:

P (vihreä tai valkoinen) = 6/10 = 3/5.

Jos marmori palautetaan, kaikki on jälleen kuten ennenkin. Tässä toisessa uutteessa on myös 3/5 todennäköisyyttä, että uutettu marmori ei ole sininen.

P (ei sinistä, ei sinistä) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Tapahtumat ovat riippumattomia, koska uutettu marmori palasi laatikkoon ja ensimmäinen tapahtuma ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen.

Ratkaisu b

Ensimmäistä uuttamista varten sama on edellisessä osassa. Todennäköisyys, että se ei ole sininen, on 3/5.

Toiseen uuttamiseen meillä on 9 marmoria laukussa, koska ensimmäinen ei palannut, mutta se ei ollut sininen, siksi 9 marmoria ja 5 ei -blue jätetään laukkuun:

P (vihreä tai valkoinen) = 5/9.

P (ei mitään ole sininen) = p (ensin ei sinistä). P (toinen ei -blue /ensimmäinen ei ollut sininen) = (3/5) . (5/9) = 1/3

Tässä tapauksessa kyse ei ole itsenäisistä tapahtumista, koska ensimmäiset tapahtumaolosuhteet toinen.

- Harjoitus 2

Kaupassa on 15 kokoa paitaa: 3 pientä, 6 keskipitkää ja 6 suurta. 2 paitaa valitaan satunnaisesti.

a) Mikä todennäköisyys molemmat valitut paitot ovat pieniä, jos joku poistetaan ensin ja korvamatta erää toista?

b) Mitä todennäköisesti molemmat valitut paidat ovat pieniä, jos yksi poistetaan ensin, toinen korvataan ja toinen poistetaan?

Se voi palvella sinua: todellinen todellisen muuttujan toiminto ja sen graafinen esitys

Liittää jhk

Tässä on kaksi tapahtumaa:

Tapahtuma A: Ensimmäinen valittu paita on pieni

Tapahtuma B: Toinen valittu paita on pieni

Tapahtuman A todennäköisyys on: p (a) = 3/15

Tapahtuman B todennäköisyys on: p (b) = 2/14, koska paita oli jo poistettu (14), mutta se on myös haluttu tavata tapahtuma ensimmäiseen purettuun paitaan on oltava pieni ja siellä on 2 pieni.

Toisin sanoen A: n ja B: n todennäköisyys on todennäköisyyksien tuote:

P (a ja b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Siksi tapahtuman A ja B todennäköisyys on yhtä suuri kuin tuote, joka on tapahtuman B todennäköisyyden vuoksi, jos tapahtuma annettiin.

On huomattava, että:

P (B¦a) = 2/14

Tapahtuman B todennäköisyys riippumatta siitä, annetaanko tapahtuma vai ei: on:

P (b) = (2/14) Jos ensimmäinen oli pieni tai p (b) = 3/14, jos ensimmäinen ei ollut pieni.

Yleensä seuraavat voidaan päätellä:

P (BPED) ei ole yhtä suuri kuin p (b) => b ei ole riippumaton a

Ratkaisu b

Tapahtumia on jälleen kaksi:

Tapahtuma A: Ensimmäinen valittu paita on pieni

Tapahtuma B: Toinen valittu paita on pieni

P (a) = 3/15

Muista, mikä tulos on, paita korvataan erästä ja poistaa satunnaisesti paidan satunnaisesti. Tapahtuman B todennäköisyys, jos tapahtuma A annettiin:

P (B¦a) = 3/15

Todennäköisyys, että tapahtumille annetaan A ja B, on:

P (a ja b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Ota huomioon, että: 

P (B¦a) on yhtä suuri kuin p (b) => B on riippumaton a.

- Harjoitus 3

Harkitse kahta riippumatonta tapahtumaa A ja B. On tiedossa, että tapahtuman tapahtuvan todennäköisyys on 0,2 ja todennäköisyys, että tapahtuma B on 0,3. Mikä on todennäköisyys, että molemmat tapahtumat tapahtuvat?

Ratkaisu 2

Tietäen, että tapahtumat ovat riippumattomia, tiedetään, että molempien tapahtumien todennäköisyys on yksittäisten todennäköisyyksien tuote. Tarkoittaen,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Huomaa, että se on paljon pienempi todennäköisyys kuin todennäköisyys, että jokainen tapahtuma tapahtuu toisen tuloksesta. Tai toisin sanoen paljon vähemmän kuin yksittäiset todennäköisyydet.

Viitteet

1. Berenson, m. 1985. Hallinnon ja taloustieteen tilastot. Inter -American S.-Lla. 126-127.
2. Monterrey Institute. Riippumattomien tapahtumien todennäköisyys. Toipunut: Monterreyinstitute.org
3. Mattoprofessori. Riippumattomat tapahtumat. Palautettu: YouTube.com
4. Superprof. Tapahtumia, riippuvaisia ​​tapahtumia. Toipunut: SuperProf.On
5. Virtuaalinen ohjaaja. Todennäköisyys. Haettu osoitteesta: vitur.netto
6. Wikipedia. Itsenäisyys (todennäköisyys). Toipunut: Wikipedia.com