Kuvitteelliset numerot ominaisuudet, sovellukset, esimerkit

Se Kuvitteelliset numerot Ne ovat ne, jotka antavat ratkaisun yhtälölle, jossa tuntematon, neliö kohonnut, on yhtä suuri kuin todellinen negatiivinen luku. Kuvitteellinen yksikkö on I = √ (-1).

Yhtälössä: z -z²= - a, z -z Se on kuvitteellinen numero, joka ilmaistaan ​​seuraavasti:

 Z = √ (-a) = i√ (a)

Olemus -lla Positiivinen reaaliluku. Joo A = 1, niin z = i, missä Yllyttää on kuvitteellinen yksikkö.

Kuvio 1. Monimutkainen taso, joka näyttää joitain todellisia numeroita, joitain kuvitteellisia numeroita ja joitain monimutkaisia ​​numeroita. Lähde: f. Zapata.

Yleensä kuvitteellinen numero z ilmaistaan ​​aina muodossa: 

z = y⋅i

Missä ja Se on todellinen luku ja Yllyttää on kuvitteellinen yksikkö.

Samoin kuin todelliset numerot on esitetty rivillä, nimeltään Todellinen suora, Analoginen kuvitteelliset numerot on esitetty Kuvitteellinen suora.

Se Kuvitteellinen suora Se on aina ortogonaalinen (90º muoto) Todellinen suora ja nämä kaksi linjaa määrittelevät kartesialaisen tason nimeltä Monimutkainen taso.

Kuvio 1 esittää monimutkaisen tasoa ja joitain todellisia lukuja, joitain kuvitteellisia numeroita ja myös joitain kompleksien numeroita esitetään:

X₁, X₂, X₃ Ne ovat todellisia numeroita

JA₁, JA₂, JA₃ Ne ovat kuvitteellisia numeroita

Z -z₂ ja z₃ Ne ovat monimutkaisia ​​numeroita

Luku tai on todellinen nolla ja on myös kuvitteellinen nolla, niin että lähtökohta tai on nollakompleksi, jonka ilmaisee:

0 + 0i 

[TOC]

Ominaisuudet

Kuvitteellisten numeroiden joukko on merkitty:

I = …, -3i,…, -2i,… .,-Yo,… .,0i, .. .,Yo,… .,2i, .. .,3i,…

Ja jotkut tästä numeerisesta sarjasta voidaan määritellä. Näistä toiminnoista ei aina saatua kuvitteellista numeroa, joten näemme ne hieman yksityiskohtaisemmin:

Kuvitteellisen summa ja vähennys

Kuvitteelliset numerot voivat lisätä ja vähentää toisistaan, ja seurauksena on uusi kuvitteellinen numero. Esimerkiksi:

Voi palvella sinua: Suhteelliset serkut: Mitkä ovat, selitys, esimerkkejä

 3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Kuvitteellinen tuote

Kun kuvitteellisen numeron tuote toisen kanssa tehdään, tulos on todellinen numero. Tehdään seuraava operaatio tarkistaaksesi:

2i x 3i = 6 x i² = 6 x (√ (-1))² = 6 x (-1) = -6.

Ja kuten näemme, -6 on todellinen luku, vaikka se on saatu kertomalla kaksi puhdasta kuvitteellista numeroa.

Todellisen kuvitteellisen määrän tuote

Jos reaaliluku kerrotaan i: llä, tulos on kuvitteellinen luku, joka vastaa 90 asteen kiertoa.

Ja onko minä² vastaa kahta peräkkäistä 90 astetta kiertoa, mikä vastaa moninkertaistamista -1: llä, ts. I² = -1. Se näkyy seuraavassa kaaviossa:

Kuva 2. Kertolasku kuvitteellisella yksiköllä ja vastaa 90º: n kiertoa. Lähde: Wikimedia Commons.

Esimerkiksi:

-3 x 5i = -15i

-3 x i = -3i.

Kuvitteellisen potentiaatio

Kuvitteellisen numeron potentiaali koko eksponenttiin voidaan määritellä:

Yllyttää¹ = i

Yllyttää² = i x i = √ (-1) x √ (-1) = -1

Yllyttää³ = i x i² = -I

Yllyttää⁴ = i² x i² = -1 x -1 = 1

Yllyttää⁵ = i x i⁴ = i

Yleensä sinun täytyy Yllyttääⁿ = i^(n mod 4), missä Modi Se on jaon jäännös n ja 4.

Myös negatiivisten kokonaislukujen voimistaminen voidaan tehdä:

Yllyttää^-1 = 1 / i¹ = i / (i x i¹) = I / (i²) = I / (-1) = -i

Yllyttää-² = 1 / i² = 1/ (-1) = -1

Yllyttää-³= 1 / i³ = 1 / (-i) = (-1) / i = -1 x i^-1 = (-1) x (-i) = i

Yleisesti ottaen kuvitteellinen numero B⋅i nostettu voimaan n on:

(B⋅i) iⁿ = bⁿ Yllyttääⁿ = bⁿ i^(n mod 4)

Joitakin esimerkkejä ovat seuraavat:

(5 i)¹² = 5¹² Yllyttää¹² = 5¹² Yllyttää^{0 -} = 5¹² x 1 = 244140625

(5 i)^yksitoista = 5^yksitoista Yllyttää^yksitoista = 5^yksitoista Yllyttää³ = 5^yksitoista x (-i) = -48828125 I

(-2 i)¹⁰ = -2¹⁰ Yllyttää¹⁰ = 2¹⁰ Yllyttää² = 1024 x (-1) = -1024

Todellisen numeron summa ja yksi kuvitteellinen

Kun todellinen numero lisätään kuvitteellisella tavalla, tulos ei ole todellinen eikä kuvitteellinen, se on uuden tyyppinen numero nimeltään Kompleksinumero.

Esimerkiksi, jos x = 3,5 ja y = 3,75i, niin tulos on kompleksinumero:

Voi palvella sinua: vähimmäisruutuja

Z = x + y = 3,5 + 3,75 i

Huomaa, että todellisia ja kuvitteellisia osia ei voida ryhmitellä summaan, joten monimutkaisella numerolla on aina todellinen osa ja toinen kuvitteellinen osa.

Tämä operaatio laajentaa reaalilukujoukon monimutkaisten lukujen laajimpiin.

Sovellukset

Ranskan matemaatikko René Descartes (1596-1650) ehdotti kuvitteellisten numeroiden nimeä pilkkauksena tai erimielisyytenä Raffalle Century Bombellin italialaisen matemaatikon tekemästä ehdotuksesta.

Muut suuret matemaatikot, kuten Euler ja Leibniz, lähettivät Descartesia tässä erimielisyydessä ja kutsuivat kuvitteellisia numeroita sammakkoeläinluvut, jotka keskusteltiin olemuksen ja tyhjyyden välillä.

Kuvitteellisten numeroiden nimi ylläpidetään tänään, mutta sen olemassaolo ja merkitys ovat hyvin todellisia ja tuntuvia, koska ne esiintyvät luonnollisesti monilla fysiikan aloilla, kuten:

-Suhteellisuusteoria.

-Sähkömagnetismissa.

-Kvanttimekaniikka.

Harjoita kuvitteellisia numeroita

- Harjoitus 1

Etsi seuraavan yhtälön ratkaisut:

z -z² + 16 = 0

Ratkaisu

z -z² = -16

Neliöjuuren ottaminen molemmilla jäsenillä:

√ (z² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i

Toisin sanoen alkuperäisen yhtälön ratkaisut ovat:

z = +4i tai z = -4i.

- Harjoitus 2

Löydä kuvitteellisen yksikön nostamisen tulos 5 miinus vähennystä kuvitteellinen yksikkö nostettu tehoon -5.

Ratkaisu

Yllyttää⁵ - Yllyttää-⁵ = i⁵ - 1/i⁵ = i - 1/i = i - (i)/(i x i) = i - i/( - 1) = i + i = 2i

- Harjoitus 3

Etsi seuraavan toiminnan tulos:

(3i)³ + 9i 

Ratkaisu

3³ Yllyttää³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Harjoitus 4

Etsi seuraavien neliöyhtälön ratkaisut:

Voi palvella sinua: olemassaolo ja ainutlaatuisuus lause: esittely, esimerkit ja harjoitukset

(-2x)² + 2 = 0

Ratkaisu

Yhtälö järjestetään seuraavasti:

(-2x)² = -2

Ota sitten neliöjuuri molemmissa jäsenissä

√ ((-2x)²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 I

Sitten x lopulta saadaan:

x = ± √2 / 2 i

Eli on olemassa kaksi mahdollista ratkaisua:

x = (√2 / 2) i

Tai tämä toinen:

x = - (√2 / 2) i

- Harjoitus 5

Etsi: Z -määritelty arvo:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Ratkaisu

Tiedämme, että negatiivisen reaalilukun neliöjuuri on kuvitteellinen luku, esimerkiksi √ (-9) on yhtä suuri kuin √ (9) x √ (-1) = 3i.

Toisaalta √ (-4) on yhtä suuri kuin √ (4) x √ (-1) = 2i.

Jotta alkuperäinen yhtälö voidaan korvata:

3i x 2i - 7 = 6 i² - 7 = 6 (-1) -7 = -6 -7 = -13

- Harjoitus 6

Löydä z: n arvo, joka johtuu kahden kompleksinumeron seuraavasta jakautumisesta:

Z = (9 - i²) / (3 + i)

Ratkaisu

Expression -numeraattori voi ottaa huomioon seuraavan ominaisuuden avulla:

Neliöiden ero on summan tuote binomien erolla nostamatta neliötä.

Niin:

Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)

Tuloksena oleva lauseke yksinkertaistetaan sitten jäljellä

Z = (3 - i)

Viitteet

1. Earl, r. Kompleksilukut. Toipunut: matematiikka.härkä.Ac.Yhdistynyt kuningaskunta.
2. Figuera, J. 2000. 1. matematiikka. Monipuolinen. Co-bo-painikkeet.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematiikan aiheiden valinta. Monfort -julkaisut.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Kuvitteellinen numero. Haettu: vuonna.Wikipedia.org