Klassinen todennäköisyyslaskelma, esimerkit, ratkaisut harjoitukset

Se Klassinen todennäköisyys Se on erityinen tapaus tapahtuman todennäköisyyden laskemisesta. Se määritellään tämän tapahtuman suotuisten tapahtumien ja mahdollisten tapahtumien väliseksi jakaminen, sillä ehdolla, että jokainen näistä tapahtumista on yhtä todennäköistä. Klassinen todennäköisyys tunnetaan myös ennakkotodennäköisyytenä tai teoreettisena todennäköisyytenä.

Halu ennakoida asioita on osa ihmisluontoa koko ajan: Me kaikki kysymme itseltämme, sataako seuraavana päivänä vai pelaako tietty jalkapallojoukkue ensi kaudella ensimmäisessä osastossa. Arkeologisia todisteita on pelaamasta pelaamista noin 40.000 vuotta.

Klassisen todennäköisyyden käsitteen määritelmä

Ensimmäinen kirja todennäköisyyksistä johtuu kuitenkin hollantilaisesta tähtitieteilijä Christian Huygensistä, jotka kutsuivat sitä Noppapeliin liittyvä perustelu. Kuten näemme, klassisella todennäköisyydellä on peräisin sattuman peleistä.

Nopalla on pitkä historia, se on kuutiopala, jonka kasvot on numeroitu pisteillä yhdestä kuuteen. Käynnistämällä vain yksi rehellinen noppaa: mikä on todennäköisyys tulla ulos, esimerkiksi viisi?

Se on hyvin yksinkertaista: Viidellä pisteellä on vain yksi pinta, joten todennäköisyys P on:

P = 1/6

[TOC]

Laskelma klassisessa todennäköisyydessä

Tämä tapa laskea tapahtuman todennäköisyys on Laplace-säännön soveltaminen, jonka ranskalainen matemaatikko Pierre de Laplace (1749-1827) totesi alun perin 1812.

Laplace -sääntöä käytetään klassisessa todennäköisyydessä tapahtuman todennäköisyyden laskemiseksi. Lähde: f. Zapata.

Ole tapahtuma, jonka haluamme tietää sen todennäköisyyden P (A), sitten:

P (a) = tapahtuman A / Mahdollisten tapausten määrän tapausten lukumäärä

Tämän operaation tulos on aina positiivinen luku välillä 0 ja 1. Jos tapahtumassa on todennäköisyys esiintyä, se tarkoittaa, että sitä ei tapahdu.

Toisaalta, jos esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin 1, se tarkoittaa, että se tapahtuu missä tahansa muodossa ja joka tapauksessa tapahtuman tapahtuman todennäköisyys, joka lisätään todennäköisyydellä, että sitä ei tapahdu, on yhtä suuri kuin 1 -

Tässä olemme osoittaneet todennäköisyyttä, että tapahtumaa A ei tapahdu kirjaimien palkin kautta.

Voi palvella sinua: 10 tyyppiä algoritmeja ja niiden ominaisuuksia

On selvää, että laillisessa noppaa jollakin kuudesta kasvoista on sama todennäköisyys poistumiseen, joten 5/6: n pinnan saamisen todennäköisyyden on oltava 1/6.

Tärkeä yksityiskohta on seuraava: Laplace -säännön soveltamiseksi mahdollisten tapausten määrän on oltava rajallinen, ts.

Noppaa koskevassa esimerkissä on 6 mahdollista tapausta ja yksi suotuisa tapahtuma. Mahdollisia tapauksia kutsutaan esimerkkitila.

Laplace -sääntöä sovellettaessa on kätevää analysoida huolellisesti näytetilaa, mukaan lukien kaikki mahdolliset tapahtumat, ts. Sen on oltava täydellinen ja siisti, joten mikään tapahtuma ei pääse huomioon.

Näytetila ja tapahtumat

Näytetilaa merkitään yleensä kirjaimella tai kreikkalaisella kirjaimella ω (pääoma Omega), ja se oli Galileon esittämä käsite.

Dice -pelaaja kysyi viisasta, koska on vaikeampaa saada yhdeksän kolme noppaa kuin 10, sitten Galileo laski mahdolliset tavat saada 9. Lopuksi hän laski vastaavat todennäköisyydet ja totesi sen käytännössä p (9) < P (10).

Näyte tilaa muutamalla elementillä

Jos näytetila koostuu muutamista elementeistä, ne on lueteltu sarjana. Oletetaan esimerkiksi, että haluat löytää todennäköisyyden, että perheen, jossa on kaksi lasta, molemmat ovat saman sukupuolen kanssa.

Voimme soveltaa klassista todennäköisyyttä määrittämällä näytteen tilaa oikein. Jos m = nainen ja h = mies, lasten näytetila on:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Jokainen näytetilan elementti on tapahtuma, esimerkiksi tapahtuma (M, M) tarkoittaa, että tämän perheen kaksi lasta ovat naisia.

Näytetilan pitäminen pyydetyn todennäköisyyden laskeminen on hyvin yksinkertaista, koska välillä on vain 2 suotuisaa tapausta, joten molemmat lapset ovat saman sukupuolen mukaan: (m, m) ja (h, h), siksi:

P (saman sukupuolen molemmat lapset) = 2/4 = 0.5

Näyte tilaa monilla elementeillä

Kun näytetila koostuu monista elementeistä, on parempi antaa yleinen sääntö löytää se. Esimerkiksi, jos t on joukkueen käyttöikä, näytetila on:

S = t∕t ≥ 0

Että se lukee näin: "Kaikki t -arvot siten, että t on suurempi tai yhtä suuri kuin 0". Tämän tilan tapahtuma voisi olla, että laitteen käyttöikä on t = 2 vuotta.

Voi palvella sinua: polynomin luokka: miten se määritetään, esimerkkejä ja harjoituksia

Esimerkkejä klassisesta todennäköisyydestä

Klassista todennäköisyyttä sovelletaan, että kaksi edellä ilmoitettua tilaa toteutetaan, ts

-Kaikki tapahtumat ovat yhtä todennäköisiä.

-Näytetila on rajallinen.

Siksi on tilanteita, joissa klassista todennäköisyyttä ei voida soveltaa, kuten silloin, kun haluat ennakoida, parantaako uusi hoito tietyn taudin vai todennäköisyys, että kone tuottaa viallisia esineitä.

Toisaalta sitä voidaan soveltaa onnistuneesti seuraavissa tapauksissa:

Tuoda markkinoille

Klassinen todennäköisyys johtuu ihmisten kiinnostuksesta uhkapeleihin. Lähde: Pixabay.

Kuten olemme nähneet, todennäköisyys, että tietty kasvot ilmestyvät, on yhtä suuri kuin 1/6.

Ottaa kirje

Meillä on 52 korttikansi ranskalainen kansi, joka koostuu neljästä sauvasta: sydämet, hihnot, timantit ja picas. Joten sydämen purkamisen todennäköisyys, tietäen, että jokaisesta sauvasta on 13 korttia, on:

P (sydän) = 13/52

Käynnistys

Se on tyypillinen esimerkki klassisesta todennäköisyydestä, koska valuutan käynnistäessä on aina todennäköisyys, joka on yhtä suuri kuin ½ kasvojen tai leiman hankkimista.

Pura värimarmorit laukusta 

Laukun sisällä voi olla värillisiä marmoreja, esimerkiksi on punaisia ​​marmoreita, sinistä marmoria ja V vihreitä marmoreja. Punaisen purkamisen todennäköisyys on:

P (r) = r / n

Ratkaisut

- Harjoitus 1

Kun rehellinen noppa on käynnistetty. Laske seuraavat todennäköisyydet:

a) Piirrä pariton luku.

b) Anna 2 tai 5 tulla ulos.

c) saavuttaa alle 4 -arvon.

d) Hanki arvo pienempi tai yhtä suuri kuin 4.

e) saavuttaa eri arvo 3

Liittää jhk

Näytetila on S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, parittomat arvot ovat 1, 3 ja 5, joten 6 mahdollisesta tapauksesta on kolme suotuisaa tapausta:

P (pariton) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Ratkaisu b

Haluamme poimia 2 tai 5, toisin sanoen mikä tahansa näistä tapauksista on suotuisaa, siksi:

P (2 tai 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Liuos C

Tässä tapauksessa on 3 suotuisaa tapahtumaa: hanki 1, 2 tai 3:

P (alle 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Liuos D

Tässä on ylimääräinen suotuisa tapahtuma, koska he pyytävät meiltä pienemmät tai yhtäläiset arvot, jotka sitten 4, sitten:

Voi palvella sinua: Acutlangle Triangle

P (arvo pienempi tai yhtä suuri kuin 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Ratkaisu E

Erilainen kolmen käynnistys tarkoittaa, että mikä tahansa muu arvo tuli esiin:

- Harjoitus 2

Laatikossa on sininen, vihreä pallo, punainen, keltainen ja musta. Mikä on todennäköisyys, että kun otetaan pallo suljettu silmilläsi, se on keltainen?

Ratkaisu

E -tapahtuma on ottaa pallo ulos laatikosta silmät kiinni (jos se tehdään avoimilla silmillä, todennäköisyys on 1) ja että tämä on keltainen.

Tapausta on vain yksi, koska keltainen pallo on vain yksi. Mahdolliset tapaukset ovat 5, koska laatikossa on 5 palloa.

Siksi E -tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin p (e) = 1/5.

Kuten voidaan nähdä, jos tapahtuman on tarkoitus ottaa sininen, vihreä, punainen tai musta pallo, todennäköisyys on myös yhtä kuin 1/5. Siksi tämä on esimerkki klassisesta todennäköisyydestä.

Havainto

Jos laatikossa olisi ollut 2 keltaista palloa, niin P (E) = 2/6 = 1/3, kun taas sinisen, vihreän, punaisen tai mustan pallon poistaminen olisi ollut yhtä kuin 1/6.

Koska kaikilla tapahtumilla ei ole samaa todennäköisyyttä, joten tämä ei ole esimerkki klassisesta todennäköisyydestä.

- Harjoitus 3

Mikä on todennäköisyys, että käynnistämällä noppaa saatu tulos on yhtä suuri kuin 5?

Ratkaisu

Yhdessä noppassa on 6 pintaa, jokaisella on erilainen luku (1,2,3,4,5,6). Siksi on 6 mahdollista tapausta ja vain yksi tapaus on suotuisa.

Joten todennäköisyys, että noppaa käynnistetään 5 on yhtä suuri kuin 1/6.

Jälleen todennäköisyys saada minkä tahansa muun noppatulos on myös yhtä suuri kuin 1/6.

- Harjoitus 4

Luokkahuoneessa on 8 poikaa ja 8 tyttöä. Jos opettaja valitsee satunnaisesti opiskelijan olohuoneestaan, mikä on todennäköisyys, että valittu opiskelija on tyttö?

Ratkaisu

"E" -tapahtuma on valita satunnainen opiskelija. Opiskelijoita on yhteensä 16, mutta kuten haluat valita tytön, niin on 8 suotuisaa tapausta. Siksi p (e) = 8/16 = 1/2.

Myös tässä esimerkissä lapsen valinnan todennäköisyys on 8/16 = 1/2.

Eli on niin todennäköistä, että valittu opiskelija on tyttö kuin poika.

Viitteet

1. Elokuu, a. Todennäköisyys. Puerto Ricon yliopisto. Palautettu: Docs.UPRB.Edu.
2. Galindo, E. 2011. Tilastot: menetelmät ja sovellukset. Toimittajien prosessi.
3. Jiménez, r. 2010. Matematiikka II. Toinen. Painos. Prentice Hall.
4. Triola, m. 2012. Perustilastot. 11. päivä. Painos. Addison Wesley.
5. Sangaku -matematiikka. Laplace -sääntö. Toipunut: Sangakoo.com.