Satunnaiset valinnat korvaamalla tai ilman

Se satunnainen valinta Se koostuu satunnaisesti elementin tai näytteen valitsemisesta tietojoukon tai objektien perusteella. Korvaamisella se tarkoittaa elementin palauttamista alkuperäiseen sarjaan ja ilman korvaamista se tarkoittaa, että se ei palauta.

Ensimmäisessä tapauksessa, kun valittu elementti palaa alkuperäjoukkoon, sitä ei muokata, jättäen avoimen mahdollisuuden, että mainittu elementti valitaan useammin kuin kerran. Tällä tavoin samaan populaatioon voidaan suorittaa äärettömiä uuttoja, vaikka se koostuisi N -elementeistä, jotka ovat äärellisiä.

Mutta jos valinta tehdään ilman korvaamista, alkuperäinen elementtijoukko muuttuu joka kerta, kun jokin elementti poistetaan siitä näytteen muodostamiseksi. Ja uutetuilla elementeillä ei ole mahdollisuutta valita uudelleen.

Populaation vähentyessä se on rajallinen uutteiden lukumäärä,.

Jos populaation koko n on pieni, satunnaisten elementtien valinnassa on merkittävä ero korvaavan kanssa tai ilman sitä. Toisaalta, kun n on erittäin suuri, ero on paljon alhaisempi, kuten myöhemmin nähdään.

Valinta korvauksella

Todennäköisyys, että tietty X -tapahtuma tapahtuu, on suhde suotuisten tapausten lukumäärän ja kokonais tapausten välillä:

P (x) = suotuisa/kokonaismäärä tapaukset.

Jos väestö koostuu n eri elementeistä: x₁, x₂, x₃…, Elementin X valinnan todennäköisyys₁ on p (x₁) = 1/N.

Koska korvaus on, populaation koko pysyy n, sitten seuraavan elementin X valinnan todennäköisyys₂ on p (x₂) = 1/N.

Ja samalla tavalla jokaisella jäljellä olevalla elementillä on sama todennäköisyys valita:

Voi palvella sinua: polynomin luokka: miten se määritetään, esimerkkejä ja harjoituksia

P (x_n) = 1/N

Siksi riippumattomia tapahtumia keskenään, tapahtumien yhteinen todennäköisyys on kunkin todennäköisyyden tuote:

P (x₁, x₂, x₃... x_n) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Valinta ilman korvaamista

Kun valitset tiettyä elementtiä korvaamatta koon n populaatiota, todennäköisyys, että tällainen elementti valitaan, on:

P (x₁) = 1/N

Kun tämä on tehty, N - 1 elementit jäävät väestöön, joten seuraavan valinnan todennäköisyys on:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Valittu tämä elementti, väestö koostuu nyt n - 2 elementeistä, tässä tapauksessa seuraavan valinnan todennäköisyys on:

P (x₃) = 1/(n - 2)

Ja niin edelleen. Ainoan elementin todennäköisyys on:

P (x_n) = 1/[n− (n-1)]

Lopuksi elementtien valitsemisen yhteinen todennäköisyys x₁, x₂, x₃… Osana näytettä se on kunkin todennäköisyyden tuote:

P (x₁, x₂, x₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n− (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [N− (N-1)]

Esimerkit

Tilastoissa näytteen valinta on koe, mahdollisten tulosten joukko on näytetila ja kokeen tulokset muodostavat tapahtuman.

Esimerkki 1

Saatavana on laatikko, jossa on eri värillisiä marmoreja: 12 punainen, 7 sinistä ja 5 vihreää. Koe koostuu yhden satunnaisen marmorin purkamisesta.

Kuten yhteensä laatikossa on 24 marmoria, joista 12 on punainen, todennäköisyys ottaa punainen marmori, merkitty p (r), on:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Tämän jälkeen haluat tietää vihreän marmorin, ts. P (v).

Voi palvella sinua: Kahden peräkkäisen numeron neliöiden summa

Tämä todennäköisyys riippuu siitä, palaako punainen marmori, joka on ensin poistettu laatikosta vai ei. Jos puna.

Vaihtovalinnassa näytetila ei muutu, laatikossa on edelleen 24 marmoria ja vihreän marmorin purkamisen todennäköisyys on:

P (v) = 5/24 = 0.kaksikymmentäyksi

Ja jos alkuperäistä punaisen marmoria ei palauteta laatikkoon, tässä on 23 marmoria, ja vihreän purkamisen todennäköisyyden tulisi olla jonkin verran suurempi:

P (v) = 5/23 = 0.22

Esimerkki 2

Toisessa marmorilaatikon kokeessa haluat laskea todennäköisyyden, että kun kaksi marmoria uutetaan, ensimmäinen on punainen ja seuraava on sininen. Voit jatkaa kahdella tavalla:

a) korvauksella

Molemmat tapahtumat ovat itsenäisiä, toisin sanoen ensin uutetun marmorin väri ei vaikuta todennäköisyyteen saada toinen tietyn värin marmori.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Ei korvaamista

Kun poistut ensimmäisestä marmorista ulkopuolelle, jos tämä oli punainen, sinisen purkamisen todennäköisyys toinen kerta on hiukan suurempi:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Esimerkki 3

Kaupungissa on 30.000 asukasta, joista 15.423 ovat naisia. Haluat laskea todennäköisyyden, että valitsemalla kaksi asukasta ovat molemmat naisia.

a) korvauksella

Olkoon p (m) todennäköisyys, että valittu asukas on sitten nainen, sitten:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

Voi palvella sinua: Miksi algebra on tärkeä tietyissä päivittäisessä tilanteessa?

Joten todennäköisyys, että toinen valittu henkilö on myös nainen, on:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Ei korvaamista

Jos ensimmäinen valittu henkilö ei "palauteta", niin todennäköisyys valita nainen toisessa yrityksessä on:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Edellisessä tapauksessa ei ole merkittävää eroa. Ja tuote 0.51410 × 0.51408 on melkein yhtä suuri kuin 0.2643, lukija voi tarkistaa sen laskimella.

Liikuntaa

Laatikossa on 5 vihreää uskovaa, 2 sinistä uskovaa ja 3 punaista uskovaa, kaikki uudet ja identtiset. Määritä todennäköisyys, että poimimalla kaksi uskovaa laatikosta, mikään niistä ei ole punainen:

a) korvauksella. Ovatko nämä tapahtumat riippumattomia?

b) ilman korvaamista, osoittaen, ovatko tapahtumat riippumattomia vai ei.

Liittää jhk

On 10 uskoa, joista 3 on punainen ja 7. Todennäköisyys p (r^*) että ensimmäinen usko ei ole punainen, on:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Usko palautetaan laatikkoon ja toinen uutto tehdään samalla tuloksella:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Tapahtumat ovat siis riippumattomia, todennäköisyys, että tässä kokeessa ei ole mitään uskoa, ei ole:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Ratkaisu b

Todennäköisyys saada uskomus, joka ei ole punainen ensimmäisessä yrityksessä, on sama kuin osassa A). Mutta toisessa uutteessa laatikossa on jo 9 uskovaa, siksi:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

Ja tässä tapauksessa todennäköisyys purkaa uskoa, että se ei ole punainen, on:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Tapahtumat eivät ole itsenäisiä.