Se tekijämerkinnät Sitä käytetään ensimmäisen laskemiseen n Luonnolliset luvut, toisin sanoen positiiviset kokonaisluvut, alkaen 1: stä N: n arvoon. Sitä merkitään ihailun merkki ja sitä kutsutaan n Takiasia:

n! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅n

Lukumäärän laskeminen on yksinkertaista, esimerkiksi kuuden ensimmäisen luonnollisen numeron tuote ilmaistaan:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Kuvio 1. Tekijämerkinnät voidaan kirjoittaa kompakti tuoterymbolilla välillä K = 1 - N. Lähde: f. Zapata.

Tekijät ilmestyvät esimerkiksi Newtonin binomiaaliseen ja yhdistelmäteoriaan, jota käytetään usein todennäköisyyksien laskemisessa. Näissä puhelut ilmestyvät usein Yhdistelmäluvut Se voidaan ilmaista tekijänä.

Merkintä n! Se on ranskalaisen lääkärin ja matemaattisen luominen. Itsenäisesti tekijät löysivät myös toinen ranskalainen matemaatikko: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Kuten summaukset, on tapa ilmaista ensimmäisten N -luonnollisten lukujen tuote yhteenvetolla:

 Ilmaisussa esiintyvää pääomakirjettä "PI", joka on samanlainen kuin "Pi", kutsutaan "tuottamiseksi" tai "moninkertaiseksi".

Tekijän merkintäominaisuudet

Olkoon m ja n kaksi positiivista kokonaislukua, on täytettävä, että:

1. Mukavuuden mukaan määriteltiin 0! Yhtä suuri kuin 1, se on: 0! = 1.
2. Arvo 1! = 1
3. Joo! = b!, Se tarkoittaa, että a = b, edellyttäen, että a⋅b ≠ 0. Poikkeus on arvot 0 ja 1, koska 1! = 1 = 0!, Kuten todettiin, mutta on selvää, että 1 ami 0.
4. Kyllä m < n, entonces m! < n! ja siksi m! Se sisältyy n!-
   n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅m… n
5. N: lle, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 2, sinun on:
   n! = N⋅ (N-1)!
   Koska määritelmän mukaan:
   n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5… . (N-1)] ⋅n
   Neliömäisten sidosten lauseke on tarkasti (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - n!
   Itse asiassa tasa -arvon oikean puolen toiminnan nostaminen:
   (N+1)! - n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5… n ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5… . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Voi palvella sinua: lähentymisradio: Määritelmä, esimerkit ja harjoitukset ratkaistu

Numeron tekijä-, osittaistiedot tai kvasi-pikakuvat

Luonnollisen luvun puolitoiminta riippuu siitä, onko se tasainen vai pariton. Kohdassa käytetään ja määritellään seuraavalla säännöllä kaksoismerkkiä ihailusta tai kaksinkertaisesta tekijästä:

-Jos n on tasainen:

n!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Jos n on pariton:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Puolijarittimien kaavat

Seuraavat kaavat auttavat laskemaan puolijarittimia helpommin, varsinkin kun kyse on suurista määristä.

Seuraava havaitaan tapauksen suhteen, että n on jopa:

n!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅2.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

Ja jos n on outo, niin:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Kertomalla ja jakamalla samaan aikaan [2 . 4 . 6… (n - 1)], lauseke pysyy:

n!! = [1Mero

Mutta näppäinten välinen määrä on:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7… . (N -1) ⋅n

Ja tämä on n!, Kuten yllä on nähty, silloin vaihdettaessa:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

Mitä neliöllä on kirjoitettu uudelleen näin:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Siksi:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Esimerkit

Edellä olevia ominaisuuksia käytetään yksinkertaistamaan lausekkeita, jotka sisältävät tekijää, ottaen huomioon, että seuraavat lausekkeet eivät yleensä ole vastaavia:

1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (M ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ-A! ≠ (m!-Aⁿ
5. (m!-A! ≠ m!!

Esimerkki 1

Kun nämä tekijät lasketaan suoraan:

5!

Se voi palvella sinua: Taajuuden todennäköisyys: Konsepti, miten se lasketaan ja esimerkkejä

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Arvot saadaan:

5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8⋅6⋅4⋅2 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Tulokset a) jopa e) voidaan myös vahvistaa laskimella. Tieteellisillä laskimilla on funktio suoraan x: n arvon laskemiseksi!.

Kuten voidaan nähdä, tekijän tulokset, lukuun ottamatta pieniä lukuja, ovat arvoja, jotka kasvavat hyvin nopeasti.

Esimerkki 2

Seuraavat murto -lausekkeet voidaan yksinkertaistaa, kun käytetään ominaisuuksia:

Ratkaisut

Liikunta ratkaistiin 1

Tarkista, että nämä tulokset ovat aiemmin saatuja tuloksia käyttämällä:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Liittää jhk

Koska 11 on pariton, arvot korvataan huolellisesti sopivalla kaavassa:

n!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

Ja sitten tulosta yksinkertaistetaan tekijän ominaisuuksien avulla:

yksitoista!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Kuten odotettiin, sama tulos saatiin laskemalla 11!! Suoraan kaavan käyttäminen on kuitenkin hyödyllistä suurelle N -arvolle, koska se mahdollistaa kaksinkertaisen tekijän ilmaisemisen kahden tekijän tuotteena.

Ratkaisu b

Soveltamalla puolitarkaskaavaa kaavaa N-tervalle ja korvaamalla arvot seuraavat: saadaan:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Liikunta ratkaistiin 2

Kirjoita seuraavat toiminnot tekijänosat:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Liittää jhk

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Ratkaisu b

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Liuos C

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Liikunta ratkaistiin 3

Väriä on 4 neliötä: sininen, oranssi, violetti ja vihreä, ja haluat löytää toisiaan toisen jälkeen pöydällä. Kuinka monta tapaa neliöt voidaan sijoittaa?

Voi palvella sinua: Jatkuva toiminta: Ominaisuudet, esimerkit, harjoitukset Kuva 2. Kuinka monta yhdistelmää voidaan tehdä kohdistamalla neljä väriä?. Tulos voidaan ilmaista tekijänlukulähteenä: f. Zapata.

Ratkaisu

On olemassa useita tapoja hävittää neliöt, esimerkiksi väri ensin kiinnittäminen. Tässä on muutama vaihtoehto:

-Sininen, oranssi, violetti ja vihreä

-Sininen, vihreä, oranssi ja violetti

-Sininen, violetti, vihreä ja oranssi

Ja niin edelleen. Lukija voi varmistaa, että sinisellä alkavat neliöyhdistelmät ovat 6 yhdistelmiä.

Huomaa, että kun asetat värin ensimmäisenä vaihtoehtona, voit korjata muut 3 väriä. Kun toinen on kiinteä, valittavana on 2 ja kun tämä väri on valittu, vain yksi väri pysyy.

Tämä voidaan ilmaista tuotteella: 4⋅3⋅2⋅1, joka on 4: n tekijä!-

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Johtopäätöksenä on, että yhteensä on 24 mahdollista yhdistelmää.

Tällä tavalla sen järjestämisessä kutsutaan permutaatio, jossa elementit asetetaan.

Liikunta ratkaistiin 4

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

a) (x² + x)! = 720

Liittää jhk

Alussa nähtiin, että 6! = 720, siksi:

(x² + x)! = 6!

Sitten sulujen välisen määrän on oltava 6:

x² + x = 6

Tämä on toisen asteen yhtälö x:

x² + x - 6 = 0

Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä yleistä kaavaa tai trinomiaalista tekijää.

Tätä viimeistä menetelmää käyttämällä trinomi otetaan huomioon seuraavasti:

x² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Yhtälöratkaisut ovat x₁ = -3 ja x₂ = 2

Ratkaisu b

Sekä numeraattori että nimittäjä ovat tekijä. Aluksi, nimittäjällä voit olla tekijä (x+7)!

Tämän kanssa on mahdollista peruuttaa termi (x+7)!, Pysyminen:

As (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Nimittäjä voidaan peruuttaa ja pysyy:

(x+8)! = 14!

Ominaisuus 3 on yksinkertainen yhtälö:

x+8 = 14

x = 6

Viitteet

1. Hoffman, J.G. Matematiikan aiheiden valinta. Ed. Spphinx.
2. Lipschutz, S. 2007. Diskreetti matematiikka. Schaum -sarja. Kolmas. Painos. McGraw Hill.
3. Matematiikka on hauskaa. Tekijätoiminto. Toipunut: Mathisfun.com.
4. Älykkyys. Faktoriaalinen mihin käytämme niitä?. Toipunut: Smartck.On.
5. Stewart, J. 2006. Precculment: Laskentamatematiikka. Viides. Painos. Cengage -oppiminen.