Ratkaisevat tekijäharjoitukset

Se factoring Se on algebrallinen menettely, jolla algebrallisesta ekspressiosta tulee yksinkertaisempia termejä. Tällä tavoin monia laskelmia yksinkertaistetaan.

Faktorisointiharjoitukset auttavat ymmärtämään tätä tekniikka.

Kuvio 1.- Algebrallisen ekspression laajennettuna faktoroinnilla muuttuu tekijöiden tuotteeksi, jonka kanssa on mukava työskennellä. Lähde: f. Zapata.

Riittävästi tekijäksi sinun on aloitettava näkemällä, onko jokaiselle termille yhteisiä kirjaimia ja numeroita. Esimerkiksi lauseke 5x⁴ -10x³ + 25x², joka sisältää kolme termiä, voi olla tekijä huomata, että "x" toistetaan jokaisessa, vaikkakin eri voimalla. Numeeristen kertoimien suhteen kaikki ovat 5: n kertoimia.

Joten yhteinen tekijä koostuu:

-Tuote kertoimien maksimaalisen yhteisen jakajan ja

-Näyttävien kirjaimien pienin voima.

Esimerkissä yhteinen tekijä on:

5x²

Ja ilmaus pysyy näin:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Lukija voi tarkistaa levittävän ominaisuuden soveltamisen, että molemmat lausekkeet ovat vastaavia.

[TOC]

Faktorisointimenetelmät: neliöero

Kaikki algebralliset lausekkeet eivät ole ottaneet huomioon kuten olemme juuri tehneet, joten tässä osoitamme, kuinka käyttää useita menetelmiä ratkaistuun askel askeleelta.

Siten pienellä käytännöllä lukija oppii soveltamaan sopivinta menetelmää esimerkiksi:

-Binomiaalinen ja trinomitekijä.

-Polynomitekijä.

-Polynomijuurilaskelma.

Kuvion 1 kuva on erittäin hyödyllinen, kun herätetään kysymys: millaista tekijää käytetään harjoitukseen?

Aloitamme neliöerolla, jolle taulukon kaava 1 käytetään.

- Liikunta ratkaistiin 1

Tekijä 16x -binomiaalinen² - 49

Ratkaisu

Tässä esimerkissä tehoa ei toisteta ja numeeriset kertoimet eivät ole serkkuja keskenään, kuten periaatteen esimerkissä. Kuitenkin, jos varmistetaan, että annettu lauseke on a Neliöero, Kaavaa 1 voidaan käyttää.

Tarvitaan vain termien tunnistaminen -lla ja b --

-lla² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
b -² = 49 → B = 49 = 7

Kun tunnistetaan, jatka korvaamaan kaava:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Voi palvella sinua: samanlaisten termien vähentäminen

Ja lauseke pysyy kahden tekijän tuotteena.

Tässä ja kaikissa tapauksissa, joissa he seuraavat, lukija voi vahvistaa, että jos hän kehittää tuloksen jakavan ominaisuuden kanssa, alkuperäinen algebrallinen lauseke saadaan takaisin.

Täydellinen neliön trinomiaalinen tekijä

Nämä tapaukset vastaavat kuvion 1 kaavoja 2 ja 3. Ennen sen soveltamista on kuitenkin varmistettava, että lauseke täyttyy:

-Kaksi termiä ovat täydelliset neliöt -lla ja b -.

-Jäljellä oleva termi on A: n ja B: n kaksinkertainen tuote, ts 2AB.

Jos yllä oleva on totta, se on täydellinen neliömäinen trinomi ja kaavat sovelletaan suoraan.

- Liikunta ratkaistiin 2

Tekijä trinomial: x² + 12x + 36

Ratkaisu

Tämä lauseke näyttää olevan tarkoituksenmukaista soveltaa kaavaa 2 laatikkoon, mutta meidän on ensin varmistettava, että se on täydellinen neliömäinen trinomia. Ensin havaitaan, että sekä ensimmäinen että kolmas termi ovat täydellisiä neliöitä:

• x² Se on täydellinen x: n neliö, koska (x)² = x²
• 36 on täydellinen neliö 6, koska 6² = 36

Niin:

a = x
B = 6

Ja lopuksi on varmistettava, että jäljellä oleva termi on 2ab, ja todellakin:

12x = 2⋅x⋅6

Se vähentää vain faktoroivan kaavan mukaan:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Liikunta ratkaistiin 3

Kirjoita lauseke 4x² -20x + 25 faktoroidussa muodossa.

Ratkaisu

Koska negatiivinen merkki voi palvella kaavaa 3 laatikossa, mutta ennen on varmistettava, että se on täydellinen neliömäinen trinomiaalinen:

• 4x² Se on 2x -neliö, koska (2x)² = 4x², Siksi a = 2x
• 25 vastaa 5², sitten B = 5
• Termi 20x on yhtä suuri kuin 2⋅2x⋅5 = 20x

Tekijä on näin:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Kuutioiden summa ja ero

Kun sinulla on summia tai kuutioeroja, kaavoja 4 tai 5 sovelletaan tapauksesta riippuen.

- Liikunta ratkaistiin 4

Foektoida 8x³ - 27

Ratkaisu

Meillä on täällä ero kuutioissa, joten kunkin termin kuutiojuuren poistaminen:

Sitten a = 2x ja b = 3.

Kaavaa 4 seurataan, mikä on sopiva kuutioiden erolle:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Tekijä ryhmittelemällä termejä

Seuraavassa kuvassa on polynomi, jolla on neljä termiä, jotka on otettava huomioon. Kolmella ensimmäisellä termillä on yhteinen "X", mutta viimeinen ei. Emme voi myöskään sanoa, että numeeriset kertoimet ovat saman tekijän kertoimia.

Voi palvella sinua: Conpex Polygon: Määritelmä, elementit, ominaisuudet, esimerkit

Yritämme kuitenkin ryhmitellä termejä kahteen osaan suluilla, jotka on osoitettu keltaisella nuolella: kahdella ensimmäisellä termillä on yhteinen "x", kun taas kahdella viimeisellä on yhteistä, että kertoimet ovat 5 -vuotiaita.

Vaikutamme nämä kaksi ryhmää (sininen nuoli). Nyt lukijan on huomautettava, että kun otetaan huomioon uusi yhteinen tekijä: Suluista (3x+2).

Kosketuskertoimet toisen kerran (vaaleanpunainen nuoli), koska (3x+2) on yleinen tekijä x ja 5.

Kuva 2. Esimerkki termien ryhmittelyn tekijöistä. Lähde: f. Zapata.

Polynomin juuret

Ovat sen muuttujan arvoja, jotka peruuttavat polynomin. Jos se on polynomi, jonka muuttuja on "x", kuten olemme nähneet, koska kyse on X: n arvojen löytämisestä siten, että korvaamisessa saatu numeerinen arvo on 0.

Faktorisointi on menetelmä nollajen löytämiseksi joissakin polynomeissa. Katsotaanpa esimerkkiä:

- Liikunta ratkaistiin 5

Löydä trinomial x nollat² -2x - 3

Ratkaisu

Vaikutamme trinomiaalin, mutta tämä ei ole täydellinen neliömäinen trinomia. Voimme kuitenkin suorittaa Tanteon toimenpide. Kirjoitimme Trinomiaalin kahden tekijän, kuten tämän, tuotena:

x² -2x - 3 = (x) . (x)

Ensimmäisessä suluissa asetetaan ensimmäinen trinomiaalinen merkki, nähty vasemmalta oikealle. Tämä on merkki (-). Toisessa suluissa kahden merkin tuote, jotka ilmestyvät termin jälkeen x: llä²-

(-) x (-) = +

Tällä tavoin tekijä näkyy:

x² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Nyt sinun on etsittävä kaksi numeroa A ja B, jotka asetetaan tyhjiin tiloihin. Kerroksen tulisi olla 3:

• A X B = 3

Ja niiden on myös noudatettava sitä tosiasiaa, että tuloksena se on 2, koska sulujen merkit ovat erilaisia.

(Jos ne olisivat olleet yhtä suuret merkit, on etsittävä kaksi numeroa A ja B, että lisättynä he antoivat termin kerroimen "x" kanssa). Niin:

• A - B = 2

Molemmat ehdot täyttävät numerot ovat 3 ja 1, koska:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Suurin määrä asetetaan vasemman sulkuun ja tekijä pysyy seuraavasti:

x² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Polynomin nollat ​​ovat x: n arvot, jotka peruuttavat jokaisen tekijän:

Voi palvella sinua: Tasaisia ​​numeroita

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Lukija voi varmistaa, että näiden arvojen korvaaminen alkuperäisessä Trinomialissa, tämä peruutetaan.

Muut harjoitukset

- Liikunta ratkaistiin 6

Tekijä seuraava polynomi: p (x) = x²-1.

Ratkaisu

Liuotinta ei aina ole välttämätöntä. Tässä esimerkissä voidaan käyttää merkittävää tuotetta.

Polynomin uudelleenkirjoittaminen seuraavasti.

Käyttämällä merkittävää tuotetta 1, neliöiden ero, polynomi p (x) voi olla factoring seuraavasti: P (x) = (x+1) (x-1).

Tämä osoittaa myös, että p (x): n juuret ovat x1 = -1 ja x2 = 1.

- Liikunta ratkaistiin 7

Tosiasia seuraava polynomi: q (x) = x³ - 8.

Ratkaisu

On huomattava tuote, joka sanoo seuraavan: a³-b³ = (a-b) (A²+AB+B²).

Tietäen tämän, voit kirjoittaa polynomin q (x) seuraavasti: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Nyt käyttämällä kuvattua merkittävää tuotetta, polynomi q (x): n tekijä on q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Puuttuva kvadraattinen polynomi, joka syntyi edellisessä vaiheessa. Mutta jos sitä havaitaan, huomattava tuotesumero 2 voi auttaa; Siksi Q (x): n lopullinen tekijä annetaan q (x) = (x-2) (x+2) ².

Tämä sanoo, että Q (x): n juuri on x1 = 2 ja että x2 = x3 = 2 on q (x) toinen juuri, joka toistetaan.

- Liikunta ratkaistiin 8

Faked R (x) = x² - x - 6.

Ratkaisu

Kun merkittävää tuotetta ei voida havaita tai tarvittavaa kokemusta lausekkeen manipuloinnista ei ole saatavana, pääteväliä käytetään. Arvot ovat seuraavat a = 1, b = -1 ja c = -6.

Kun ne korvataan kaavassa, se on x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Täältä on kaksi seuraavaa ratkaisua:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Siksi polynomi r (x) voi olla factoring a r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Liikunta ratkaisi 9

Tekijä h (x) = x³ - x² - 2x.

Ratkaisu

Tässä harjoituksessa voit aloittaa ottamalla yhteinen tekijä X ja saadaan, että h (x) = x (x²-x-2).

Siksi on jäljellä vain kvadraattisen polynomin tekoa. Juurten on uudelleen liuottimen avulla:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Siksi neliömäisen polynomin juuret ovat x1 = 1 ja x2 = -2.

Yhteenvetona voidaan todeta, että polynomin H (x) tekijä annetaan h (x) = x (x-1) (x+2).

Viitteet

1. Kalju. 1977. Perusalgebra. Venezuelan kulttuuriversiot.
2. Polynomin juuret. Mitä ovat ja miten lasketaan askel askeleelta. Toipunut: Ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Precculment: Laskentamatematiikka. Viides. Painos. Cengage -oppiminen.
5. Zill, D. 1984. Algebra ja trigonometria. McGraw Hill.