Matemaattinen toivo kaava, ominaisuudet, esimerkit, liikunta

Se matemaattinen toivo tai odotettu arvo Satunnaismuuttuja X, se merkitään nimellä E (x) ja se määritellään tuotteen summana satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden ja mainitun tapahtuman arvon välillä.

Matemaattisessa muodossa se ilmaistaan ​​seuraavasti:

μ = e (x) = ∑ x_Yllyttää. P (x_Yllyttää) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Kuvio 1. Matemaattista toivoa käytetään laajasti osakemarkkinoilla ja vakuutusalalla. Lähde: Pixabay.

Missä x_Yllyttää Se on tapahtuman arvo ja p (x_Yllyttää) sen esiintymisen todennäköisyys. Yhteenveto ulottuu kaikkiin arvoihin, jotka on hyväksytty x. Ja jos nämä ovat äärellisiä, osoitettu yhteenveto lähenee arvoa e (x), mutta jos summa ei lähentyä, niin yksinkertaisesti muuttujalla ei ole odotettua arvoa.

Jatkuvan muuttujan suhteen x, Muuttujalla voi olla äärettömät arvot ja integraalit korvaavat yhteenvedot:

Tässä f (x) edustaa Todennäköisyystiheysfunktio.

Yleisesti. Joten ja vasta sitten:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Yllyttää

Missä n on mahdollisten arvojen lukumäärä.

Konsepti on erittäin hyödyllinen rahoitusmarkkinoilla ja vakuutusyhtiöillä, joissa varmuuksia puuttuu usein, mutta ne ovat todennäköisesti.

[TOC]

Matemaattisen toivon ominaisuudet

Matemaattisen toivon tärkeimmistä ominaisuuksista ovat seuraavat:

- Merkki: Jos x on positiivinen, niin myös E (x).

- Vakiona odotettu arvo: Todellisen vakion odotettu arvo k -k - Se on vakio.

E (k) = k

- Lineaarisuus summassa: satunnaismuuttujan toivo, joka puolestaan ​​on kahden muuttujan summa x y y on toiveiden summa.

Voi palvella sinua: järjestetty pari

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Kertolasku vakiona: Jos satunnaismuuttuja on muoto kx, missä k -k - Se on vakio (todellinen luku), se menee odotetusta arvosta.

E (kx) = k e (x)

- Tuotteen odotettu arvo ja muuttujien välinen riippumattomuus: Jos satunnaismuuttuja on satunnaismuuttujien tuote x y y, jotka ovat riippumattomia, niin tuotteen odotettu arvo on odotettujen arvojen tuote.

Entinen.Y) = e (x).HEI)

- Satunnaismuuttuja Y = kirves + b: Aiempia ominaisuuksia käytetään.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Yleensä kyllä Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Yllyttää-A. P [g (x_Yllyttää)

- Järjestys odotetussa arvossa: Kyllä x ≤ y, sitten:

E (x) ≤ e (y)

Koska kunkin heistä on odotettavissa olevia arvoja.

Matemaattinen toivo vedoissa

Kun kuuluisa tähtitieteilijä Christian Huygens (1629-1695) ei tarkkaillut taivaita, hän oli omistautunut opiskelemaan muun muassa pelaamisen todennäköisyyttä. Juuri hän esitteli matemaattisen toivon käsitteen vuonna 1656 nimeltään: Päättely uhkapeleistä.

Kuva 2. Christiaan Huygens (1629-1625) oli loistava ja monipuolinen tutkija, jolle olemme velkaa odotetun arvokonseptin.

Huygens havaitsi, että vedot voidaan luokitella kolmella tavalla odotetun arvon mukaan:

-Pelit, joilla on etu: e (x)> 0

-Reilut vedot: e (x) = 0

-Haittapeli: E (x) < 0

Ongelmana on, että sattuman pelissä matemaattinen toivo ei aina ole helppo laskea. Ja kun voit tulos.

Yritetään yksinkertaisella vedolla: kasvot tai ristit ja se, joka häviää, maksaa kahvin 1 dollaria. Mikä on tämän vedon odotettu arvo?

Voi palvella sinua: mikä on ohje? (Geometria)

No, kalliuden todennäköisyys on ½, aivan kuten risti tulee ulos. Satunnaismuuttuja on voittaa 1 dollaria tai menettää 1 dollaria, voitto merkitään merkinnällä + ja tappio merkinnällä -.

Järjestämme tiedot taulukossa:

Kerrotaan sarakkeiden arvot: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ ja lopuksi tulokset lisätään. Summa on 0 ja se on reilu peli, jossa osallistujien odotetaan voittavan tai häviävän.

Ranskalainen ruletti ja arpajaiset ovat pelejä, joissa on haitta, jossa suurin osa rajaajista häviää. Myöhemmin ratkaistuissa harjoitusosassa on hieman monimutkaisempi veto.

Esimerkit 

Tässä on joitain yksinkertaisia ​​esimerkkejä, joissa matemaattisen toivon käsite on intuitiivinen ja selventää käsitettä:

Esimerkki 1

Aloitamme käynnistämällä rehellinen noppa. Mikä on odotettu käynnistysarvo? No, jos noppaa on rehellinen ja sillä on 6 kasvoja, todennäköisyys, että mikä tahansa arvo (x = 1, 2, 3 ... 6) jättää 1/6, kuten tämä:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Kuva 3. Rehellisen noppan käynnistämisessä odotettu arvo ei ole mahdollista arvoa. Lähde: Pixabay.

Odotettu arvo tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin keskiarvo, koska jokaisella kasvolla on sama todennäköisyys tulla ulos. Mutta e (x) ei ole mahdollinen arvo, koska mikään kasvot eivät ole 3 arvoa.5. Tämä on täysin mahdollista joissakin jakautumisissa, vaikka tässä tapauksessa tulos ei auta vedonlyöntiä paljon.

Katsotaanpa toista esimerkkiä kahden kolikon käynnistämällä.

Esimerkki 2

Kaksi rehellistä kolikkoa heitetään ilmaan ja määrittelevät satunnaismuuttujan X saatujen kasvojen lukumäärän. Seuraavat tapahtumat ovat seuraavat:

Voi palvella sinua: 90 jakajaa: Mitkä ovat ja selitys

-Ei kasvoja tule: 0 kasvot, jotka ovat yhtä suuret kuin 2 ristiä.

-1 kasvot ja 1 tiiviste tai risti tulee ulos.

-2 kasvot tulevat ulos.

Olkoon c kasvot ja tiiviste, näitä tapahtumia kuvaava näytetila on seuraava:

S_m = SEAL-ISO; SEAL-CARA; Face-yel; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

Tapahtumien mahdollisuudet ovat:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Taulukko on rakennettu saatujen arvojen kanssa:

Alussa annetun määritelmän mukaan matemaattinen toivo lasketaan seuraavasti:

μ = e (x) = ∑ x_Yllyttää. P (x_Yllyttää) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Arvojen korvaaminen:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Tämä tulos tulkitaan seuraavasti: Jos henkilöllä on tarpeeksi aikaa tehdä suuri joukko kokeita, jotka käynnistävät nämä kaksi kolikkoa, sen odotetaan saavan kasvot jokaisessa käynnistyksessä.

Tiedämme kuitenkin, että julkaisut, joissa 2 leimaa ilmestyvät, ovat täysin mahdollisia.

Liikuntaa

Kahden rehellisen valuutan käynnistämisessä seuraava veto tehdään: Jos 2 kasvot ilmestyvät, he ansaitsevat 3 dollaria, jos 1 kasvot voitetaan, mutta jos kaksi leimaa tulee ulos, sinun on maksettava 5 dollaria. Laske vedon odotettu voitto.

Kuva 4. Vedon mukaan matemaattinen toivo muuttuu käynnistämällä kaksi rehellistä kolikkoa. Lähde: Pixabay.

Ratkaisu

Satunnaismuuttuja X on arvot, jotka rahat saavat vedonlyönnissä ja todennäköisyydet laskettiin edellisessä esimerkissä, siksi panoksen taulukko on:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Koska odotettu arvo on 0, se on reilu peli, joten tässä odotetaan, että vedonlyönti ei voita eikä menetä. Vedonlyöntiä voitaisiin kuitenkin muuttaa panoksen muuttamiseksi peliksi, jolla on etu tai peli, jolla on haitta.

Viitteet

1. Brase, c. 2009. Alittomat tilastot. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Johdanto satunnaismuuttujan odotetun arvon tai matemaattisen toivon käsitteeseen. Toipunut: Henkilökohtainen.meille.On.
3. Tilastot librettexts. Diskreettien satunnaismuuttujien odotettu arvo. Haettu: Tilastot.Librettexts.org.
4. Triola, m. 2010. Perustilastot. 11. päivä. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Tieteen ja tekniikan todennäköisyys ja tilastot. Kahdeksas. Painos. Pearson -koulutus.