Laske tekniikat, sovellukset, esimerkit, harjoitukset

Se laskentatekniikat Ne ovat sarja todennäköisyysmenetelmiä, jotta voidaan laskea mahdollinen järjestelyjen lukumäärä sarjassa tai useissa objektisarjoissa. Näitä käytetään, kun tilit tehdään manuaalisesti monimutkaisiksi, koska objekteja ja/tai muuttujia on suuri määrä.

Esimerkiksi ratkaisu tähän ongelmaan on hyvin yksinkertainen: Kuvittele, että pomosi pyytää sinua laskemaan viimeisimmät tuotteet, jotka ovat saapuneet viimeisen tunnin aikana. Tässä tapauksessa voit mennä laskemaan tuotteet yksi kerrallaan.

Kuvittele kuitenkin, että ongelma on seuraava: pomosi pyytää sinua laskemaan kuinka monta saman tyyppistä ryhmää voidaan muodostaa viimeisen tunnin saapuvien kanssa. Tässä tapauksessa laskelma on monimutkainen. Tämän tyyppisiä tilanteita käytetään niin kutsuttuja laskentatekniikoita.  

Nämä tekniikat ovat useita, mutta tärkeimmät on jaettu kahteen perusperiaatteeseen, jotka ovat moninkertaisia ​​ja lisäaineita; permutaatiot ja yhdistelmät.

[TOC]

Moninkertainen periaate

Sovellukset

Moninkertainen periaate yhdessä lisäaineen kanssa ovat perustana laskentatekniikoiden toiminnan ymmärtämiseksi. Kerroksen tapauksessa se koostuu seuraavista:

Kuvittele toiminta, joka edellyttää tietyn määrän vaiheita (kokonaismäärä me merkitsemme sen "R"), missä ensimmäinen askel voidaan tehdä N1 -muodoissa, N2: n toinen vaihe ja NR -muotojen askel "R". Tässä tapauksessa aktiviteetti voitaisiin tehdä tästä operaatiosta johtuvien lomakkeiden lukumäärässä: n1 x n2 x .. .X NR -muodot

Siksi tätä periaatetta kutsutaan moninkertaiseksi, ja se tarkoittaa, että jokainen toiminnan toteuttamiseen tarvittava vaihe on suoritettava toisen jälkeen. 

Esimerkki

Kuvittele henkilö, joka haluaa rakentaa koulun. Tätä varten harkitse, että rakennuksen pohja voidaan rakentaa kahdella eri tavalla, sementti tai betoni. Seinien suhteen ne voivat olla adobe, sementti tai tiili.

Katon suhteen tämä voidaan rakentaa sementti- tai galvanoidusta arkista. Lopuksi lopullinen maalaus voidaan tehdä vain tavalla. Esitettävä kysymys on seuraava: kuinka monta tapaa koulussa on?

Ensinnäkin tarkastellaan vaiheiden lukumäärää, jotka olisivat pohja, seinät, katto ja maalaus. Kaikkiaan 4 vaihetta, joten r = 4.

Voi palvella sinua: roolirooli

Seuraava olisi luetella n:

N1 = tapoja rakentaa pohja = 2

N2 = tapoja rakentaa seinät = 3

N3 = tapoja tehdä katto = 2

N4 = tapoja suorittaa maali = 1

Siksi mahdollisten tapojen lukumäärä lasketaan yllä kuvatulla kaavalla:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 tapaa suorittaa koulua.

Additiivinen periaate

Sovellukset

Tämä periaate on hyvin yksinkertainen, ja se on, että samojen toiminnan suorittamisessa useita vaihtoehtoja, mahdolliset tavat koostuvat kaikista vaihtoehtoista suoritettavien erilaisten mahdollisten tapojen summasta.

Toisin sanoen, jos haluamme suorittaa toiminnan kolmella vaihtoehdolla, missä ensimmäinen vaihtoehto voidaan tehdä M -muodoissa, toinen N -muodoista ja viimeinen W -muodot, aktiivisuus voidaan tehdä: M + N + … + W -lomakkeet.

Esimerkki

Kuvittele tällä kertaa henkilö, joka haluaa ostaa tennismailan. Tätä varten sinulla on kolme tuotemerkkiä, joista valita: Wilson, Babolat tai Head.

Kun hän menee kauppaan, hän näkee, että Wilson -maila voidaan ostaa kahdella erikokoisella kahvalla, L2 tai L3 neljässä eri mallissa ja ne voidaan sidota tai ilman brodeeria.

Toisaalta Babolat -mailalla on kolme mangoa (L1, L2 ja L3), on olemassa kaksi erilaista mallia ja se voidaan myös sidota tai ilman brodeeria.

Päämaila on sillä välin vain mangolla, L2, kahdessa eri mallissa ja vain ilman brodeeria. Kysymys on: kuinka monta tapaa tämän henkilön on ostettava maila?

M = Wilson -mailan valitsemiseksi tavoin

N = Babolat -mailan valitsemista tapoja

W = päätelineiden valitsemista tapoja

Suoritamme kertoimen periaatteen:

M = 2 x 4 x 2 = 16 muotoa

N = 3 x 2 x 2 = 12 muotoa

W = 1 x 2 x 1 = 2 muotoa

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 tapaa valita maila.

Tietää, milloin moninkertainen periaate ja lisäaine on.

Permutaatiot

Sovellukset

Ymmärtääksesi, mikä permutaatio on, on tärkeää selittää, mikä yhdistelmä on pystyä erottamaan ne ja tietämään, milloin niitä käytetään.

Yhdistelmä olisi elementtien järjestely, jossa emme ole kiinnostuneita asemaan, jonka jokainen heistä käyttää.

Permutaatio puolestaan ​​olisi elementtien järjestely.

Voi palvella sinua: 7 talouskasvun indikaattoria ja sen ominaisuuksia

Annetaan esimerkki ymmärtää paremmin.

Esimerkki

Kuvittele luokka, jossa on 35 opiskelijaa ja seuraavien tilanteiden kanssa:

1. Opettaja haluaa kolme oppilaansa auttavan häntä pitämään luokan puhtaana tai toimittamaan materiaaleja muille opiskelijoille, kun hän tarvitsee sitä.
2. Opettaja haluaa nimittää luokan edustajat (presidentti, avustaja ja taloudellinen).

Ratkaisu olisi seuraava:

1. Kuvittele, että äänestämällä Juan, María ja Lucía valitaan puhdistamaan luokka tai toimittamaan materiaalit. On selvää, että muut kolmen ihmisen ryhmät olisivat voineet muodostaa 35 mahdollisen opiskelijan joukossa.

Meidän on kysyttävä itseltämme seuraava: Onko kunkin opiskelijan järjestämä järjestys tai asema, joka on tärkeä valittaessa niitä?

Jos ajattelemme sitä, näemme, että se ei todellakaan ole tärkeää, koska ryhmä huolehtii kahdesta työstä. Tässä tapauksessa se on yhdistelmä, koska emme ole kiinnostuneita elementtien asemasta.

2. Kuvittelemme nyt, että Juan valitaan presidentiksi, Mariaksi avustajaksi ja Lucia finanssiksi.

Tässä tapauksessa olisiko määräys? Vastaus on kyllä, koska jos muutamme elementtejä, muuta tulosta. Toisin sanoen, jos Juanin presidentiksi asettamisen sen sijaan, että laitamme hänet avustajaksi ja Maria presidenttinä, lopputulos muuttuisi. Tässä tapauksessa se on permutaatio.

Kun ero on ymmärretty, saamme permutaatioiden ja yhdistelmien kaavat. Ennen kuin joudut määrittelemään termi "n!”(ENE Factorial), kuten sitä käytetään eri kaavoissa.

n!= tuotteeseen 1 - N.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x n

Sen käyttäminen todellisilla numeroilla:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x 10 = 3,628 800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Permutaatiokaava olisi seuraava:

Npr = n!/(N-r)!

Sen kanssa voimme selvittää järjestelyjä, joissa järjestys on tärkeä, ja missä elementit ovat erilaisia.

Yhdistelmät

Sovellukset

Kuten olemme edellä maininneet, yhdistelmät ovat järjestelyt, joissa emme välitä elementtien sijainnista.

Sen kaava on seuraava:

Ncr = n!/(N-r)!r -!

Esimerkki

Jos on 14 opiskelijaa, jotka haluavat olla vapaaehtoisia puhdistamaan luokkahuone, kuinka monta siivousryhmää voidaan muodostaa, jos jokaisen ryhmän on oltava 5 henkilöä?

Siksi ratkaisu olisi seuraava:

N = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 ryhmää

Voi palvella sinua: Rakennukset tai rakennustili: Mikä on, esimerkki

Ratkaisut

Harjoitus 1

Lähde: Pixabay.com

Äitinsä tilaa Natalian menemään ruokakauppaan ja ostamaan soodan jäähtymään. Kun Natalia kysyy riippuvaisesta juomisesta, hän kertoo hänelle, että virvoitusjuomia, kolme tyyppiä ja kolme kokoa on neljä makua.

Virvoitusjuomien maut voivat olla: häntä, sitruuna, appelsiini ja minttu.

Tyypään virvoitusjuomat voivat olla: normaali, ilman sokeria, ilman kofeiinia.

Koot voivat olla: pienet, keskisuuret ja suuret.

Natalian äiti ei täsmentänyt, millainen sooda halusi kuinka monella tapaa Natalian on ostettava juoma?

Ratkaisu

M = koko ja tyyppinumero, jonka voit valita valitsemalla hännän soodaa.

N = koko ja tyyppinumero, jonka voit valita valitessasi sitruunan soodaa.

W = koko ja tyyppinumero, jonka voit valita valittaessa oranssia sooda.

Y = koko ja tyyppinumero, jonka voit valita valitessasi minttu sooda.

Suoritamme kertoimen periaatteen:

M = 3 × 3 = 9 muotoa

N = 3 × 3 = 9 muotoa

W = 3 × 3 = 9 muotoa

Y = 3 × 3 = 9 muotoa

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 tapaa valita sooda.

Harjoitus 2

Lähde: Pixabay.com

Urheilukerho ilmoittaa ilmaisista pääsypajoista, jotta lapset oppivat luisteluun. 20 lasta on rekisteröity, joten kaksi kymmenen ihmisen ryhmää päättää jakaa, jotta ohjaajat voivat antaa luokat mukavammat.

He puolestaan ​​päättävät voittaa, mikä ryhmä jokainen lapsi putoaa. Kuinka monessa eri ryhmässä lapsi voisi tulla.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa tapa löytää vastaus on yhdistelmätekniikan avulla, jonka kaava oli: NCR = N!/(N-r)!r -!

n = 20 (lasten lukumäärä)

  R = 10 (ryhmän koko)

20C10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 ryhmää.

Viitteet

1. Jeffrey, r.C., Todennäköisyys ja tuomiotaide, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, ”Johdatus todennäköisyysteoriaan ja sen sovelluksiin”, (Osa 1), 3. painos, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Loogiset perusteet ja subjektiivisen todennäköisyyden mittaus". Psykologinen teko.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Johdatus matemaattisiin tilastoihin (6. ed.-A. Ylä -Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Arviointitiede: Todisteet ja todennäköisyys ennen Pascalia,Johns Hopkins University Press.